Congruent elliptic curves with non-trivial Shafarevich-Tate groups: Distribution part
Congruent elliptic curves with non-trivial Shafarevich-Tate groups: Distribution part
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具有非平凡 Shafarevich-Tate 群的全等椭圆曲线：分布部分
DOI：
10.1007/s11425-015-0742-7
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发表时间：
2015-11
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
WANG Zhangjie
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
WANG Zhangjie
给定一个大的正数 x 和一个正整数 k，我们用 Q_k(x) 表示全等椭圆曲线 E (n) 的集合： y^2 = z^3 − n^2 z ，其中正无平方整数 n ≤ x 与 1 模 8 全等，有 k 个质因数，每个质因数与 1 模 4 全等。我们获得全等椭圆曲线 E (n) ∈ Q_k(x) 数量的渐近公式，其中 Mordell-Weil 秩为零且 Shafarevich-Tate 群的 2-primary 部分同构于 (ℤ/2ℤ)^2。我们还得到了 E (n) ∈ Q_k(x) 的数量下界，其中 Mordell-Weil 等级为零，Shafarevich-Tate 群的 2-primary 部分同构于 (ℤ/2ℤ)^4。证明这些结果的关键要素是留数符号的独立性。该属性粗略地表示，在给定兼容值的素因数中，具有 k 个素因数和余数符号（二次和四次）的正无平方整数 n ≤ x 的数量并不取决于实际值。
Given a large positive number x and a positive integer k, we denote by Q_k(x) the set of congruent elliptic curves E (n): y^2 = z^3 − n^2 z with positive square-free integers n ≤ x congruent to one modulo eight, having k prime factors and each prime factor congruent to one modulo four. We obtain the asymptotic formula for the number of congruent elliptic curves E (n) ∈ Q_k(x) with Mordell-Weil ranks zero and 2-primary part of Shafarevich-Tate groups isomorphic to (ℤ/2ℤ)^2. We also get a lower bound for the number of E (n) ∈ Q_k(x) with Mordell-Weil ranks zero and 2-primary part of Shafarevich-Tate groups isomorphic to (ℤ/2ℤ)^4. The key ingredient of the proof of these results is an independence property of residue symbols. This property roughly says that the number of positive square-free integers n ≤ x with k prime factors and residue symbols (quadratic and quartic) among its prime factors being given compatible values does not depend on the actual values.
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作者：
H. Iwaniec;E. Kowalski
通讯作者：
H. Iwaniec;E. Kowalski
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作者：
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通讯作者：
E. Fogels
DOI：
10.1112/jlms/s2-39.1.16
发表时间：
1989-02
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K. Ireland;M. Rosen