Asymptotics and Ramanujan's mock theta functions: then and now
Asymptotics and Ramanujan's mock theta functions: then and now
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渐近论和拉马努金的模拟 theta 函数：过去和现在
DOI：
10.1098/rsta.2018.0448
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发表时间：
2019
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Folsom, Amanda
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Folsom, Amanda
这篇文章是为了纪念拉马努金100年前当选为皇家学会会员，这是在2018年10月在伦敦皇家学会举行的科学会议上庆祝的。拉马努金的最后一封信给哈代，写后不久，他当选，围绕着他的模拟θ函数。虽然这些功能一直非常重要和兴趣的几十年后拉马努金的死亡在1920年，目前还不清楚他们如何确切地融入理论的模块化形式戴森称之为“一个挑战，未来”在另一个百年会议在伊利诺伊州于1987年，纪念100周年拉马努金的诞生。在21世纪初，茨韦格斯终于认识到拉马努金发现了非全纯模形式的特殊家族，我们现在知道这是Bruinier和Funke在2004年提出的调和Maass形式，其中的全纯部分被称为mock模形式。几年前，拉马努金最后一封信中的一个基本问题仍然存在，关于模拟θ函数和普通模形式之间的某种渐近关系。作者与Ono和Rhoades一起重新审视了Ramanujan的渐近主张，并建立了模拟theta函数和量子模形式之间的联系，直到90年后的2010年Zagier才定义。在这里，我们把过去和现在，并研究模拟模块形式和量子模块形式之间的关系，与拉马努金的模拟theta函数的动机。特别是，我们强调Bringmann-Rolen，Choi-Lim-Rhoades和Griffin-Ono-Rolen在我们的讨论中最近的工作。这篇文章在很大程度上是暂时的，但不是唯一的：我们还建立了一个新的解释拉马努金的径向渐近极限的主题拓扑。这篇文章是讨论会议的一部分问题'Srinivasa拉马努金：在庆祝百年他当选为FRS'。
This article is in commemoration of Ramanujan's election as Fellow of The Royal Society 100 years ago, as celebrated at the October 2018 scientific meeting at the Royal Society in London. Ramanujan's last letter to Hardy, written shortly after his election, surrounds his mock theta functions. While these functions have been of great importance and interest in the decades following Ramanujan's death in 1920, it was unclear how exactly they fit into the theory of modular forms—Dyson called this ‘a challenge for the future’ at another centenary conference in Illinois in 1987, honouring the 100th anniversary of Ramanujan's birth. In the early 2000s, Zwegers finally recognized that Ramanujan had discovered glimpses of special families of non-holomorphic modular forms, which we now know to be Bruinier and Funke's harmonic Maass forms from 2004, the holomorphic parts of which are called mock modular forms. As of a few years ago, a fundamental question from Ramanujan's last letter remained, on a certain asymptotic relationship between mock theta functions and ordinary modular forms. The author, with Ono and Rhoades, revisited Ramanujan's asymptotic claim, and established a connection between mock theta functions and quantum modular forms, which were not defined until 90 years later in 2010 by Zagier. Here, we bring together past and present, and study the relationships between mock modular forms and quantum modular forms, with Ramanujan's mock theta functions as motivation. In particular, we highlight recent work of Bringmann–Rolen, Choi–Lim–Rhoades and Griffin–Ono–Rolen in our discussion. This article is largely expository, but not exclusively: we also establish a new interpretation of Ramanujan's radial asymptotic limits in the subject of topology.This article is part of a discussion meeting issue ‘Srinivasa Ramanujan: in celebration of the centenary of his election as FRS’.
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DOI：
10.1090/conm/291
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2001
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B. Berndt;K. Ono
高维中的 Gross-Kohnen-Zagier 定理
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1997
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影响因子：
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通讯作者：
R. Borcherds
通用模拟 Theta 函数 $g_3$ 的径向极限
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发表时间：
2017
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S. Löbrich
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--
作者：
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B. Berndt
单峰秩生成函数的量子雅可比形式和有限评估
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K. Bringmann;A. Folsom
通讯作者：
A. Folsom