Piecewise affine approximations for functions of bounded variation
Piecewise affine approximations for functions of bounded variation
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有界变分函数的分段仿射近似
DOI：
10.1007/s00211-015-0721-x
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发表时间：
2015
影响因子：
2.1
通讯作者：
Kristensen J
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Kristensen J
BV 函数不能通过分段常数函数很好地逼近，但这项工作将表明，使用（可数）分段仿射函数仍然可以实现良好的逼近。特别地，该近似在面积上严格接近原始函数，并且网格的实质部分上的原始函数和近似函数的轨迹之间的差异可以任意小。网格必然需要适应要近似的 BV 函数的奇点，因此，证明基于放大论证以及网格的显式构造。在-Sobolev 函数的情况下，我们通过均匀正则三角剖分上的分段仿射函数建立近似的最佳误差估计。分段仿射函数是通过三角剖分节点上的软化和拉格朗日插值获得的标准准插值，这里的主要新贡献与 Clément (RAIRO Anal Numér 9(R-2):77–84, 1975) 和 Verfürth (M2AN Math. Model Numer Anal 33(4):1766–1782) 相比， 1999）是我们的误差估计是在标准范围内而不仅仅是标准范围。
BV functions cannot be approximated well by piecewise constant functions, but this work will show that a good approximation is still possible with (countably) piecewise affine functions. In particular, this approximation is area-strictly close to the original function and the-difference between the traces of the original and approximating functions on a substantial part of the mesh can be made arbitrarily small. Necessarily, the mesh needs to be adapted to the singularities of the BV function to be approximated, and consequently, the proof is based on a blow-up argument together with explicit constructions of the mesh. In the case of-Sobolev functions we establish an optimal-error estimate for approximation by piecewise affine functions on uniform regular triangulations. The piecewise affine functions are standard quasi-interpolants obtained by mollification and Lagrange interpolation on the nodes of triangulations, and the main new contribution here compared to for instance Clément (RAIRO Anal Numér 9(R-2):77–84, 1975) and Verfürth (M2AN Math. Model Numer Anal 33(4):1766–1782, 1999) is that our error estimates are in the-norm rather than merely the-norm.
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