On an analogue of the Lutz–Nagell Theorem for hyperelliptic curves
On an analogue of the Lutz–Nagell Theorem for hyperelliptic curves
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DOI：
10.1016/j.jnt.2012.02.023
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发表时间：
2013-03
影响因子：
0.7
通讯作者：
David Grant
中科院分区：
文献类型：
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作者：
David Grant
我们针对属 g⩾1 的超椭圆曲线提出了 Lutz-Nagell 定理的一个版本。我们考虑由 y2=f(x) 定义的曲线 C，其中 f 是在数域 F 的整数环或其非阿基米德补全上定义的 2g+1 次一元多项式。如果 J 是 C 的雅可比行列式，而 是 C 到 J 的阿贝尔-雅可比映射，将 C 模型的 ∞ 处的点发送到 J 的原点，我们证明，如果 P=(a,b) 是 C 的有理点，使得 phi(P) 是 J 中的挠率，则如果 P 的阶数 n 不是素数幂，则 a 和 b 是积分；如果 n 是素数幂，则 a 和 b 的分母有界。当 a 和 b 是整数时，我们给出 b2 除以 f 的判别式 Δ(f) 的标准。最后我们证明，对于 f∈Z[x]，如果 P=(a,b)∈C(Q) 且 phi(P) 是 n⩾2 阶的扭点，则我们有 a,b∈Z，并且 b=0 或 b2 除以 Δ(f)。
We produce a version of the Lutz–Nagell Theorem for hyperelliptic curves of genus g⩾1. We consider curves C defined by y2=f(x), where f is a monic polynomial of degree 2g+1 defined over the ring of integers of a number field F or its non-archimedean completions. If J is the Jacobian of C, and ϕ is the Abel–Jacobi map of C into J sending the point at ∞ of our model of C to the origin of J, we show that if P=(a,b) is a rational point of C such that ϕ(P) is torsion in J, then a and b are integral if the order n of P is not a prime power, and bound the denominators of a and b if n is. When a and b are integral, we give criteria for when b2divides the discriminant Δ(f) of f. Finally we show for f∈Z[x], that if P=(a,b)∈C(Q) and ϕ(P) is a torsion point of order n⩾2, then we have a,b∈Z, and either b=0 or b2divides Δ(f).