Validated Numerical Approximation of Stable Manifolds for Parabolic Partial Differential Equations
Validated Numerical Approximation of Stable Manifolds for Parabolic Partial Differential Equations
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抛物型偏微分方程稳定流形的验证数值逼近
DOI：
10.1007/s10884-022-10146-1
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发表时间：
2022
影响因子：
1.3
通讯作者：
James, J. D.
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Berg, Jan Bouwe;Jaquette, Jonathan;James, J. D.
本文发展了研究无限维稳定流形在抛物型偏微分方程平衡解处的有效计算方法，综合了数值近似引起的不同误差。为了构造我们的近似，我们将稳定流形分解为三个组成部分：一个有限维慢分量，一个快速但有限维分量，和一个强收缩的无限维“尾巴”。我们采用有限维投影中的参数化方法逼近慢稳定流形，以及所附加的有限维不变向量束。这种近似提供了一种坐标变化，在很大程度上消除了缓慢稳定方向上的非线性项。在这个自适应的坐标系中，我们应用了李雅普诺夫-佩龙方法，得到了近似误差的数学上严格的界限。结果，我们得到的边界明显比仅使用本征方向给出的线性近似得到的边界更清晰。作为一个具体的例子，我们说明了一维Swift-Hohenberg方程的技术。
This paper develops validated computational methods for studying infinite dimensional stable manifolds at equilibrium solutions of parabolic PDEs, synthesizing disparate errors resulting from numerical approximation. To construct our approximation, we decompose the stable manifold into three components: a finite dimensional slow component, a fast-but-finite dimensional component, and a strongly contracting infinite dimensional “tail”. We employ the parameterization method in a finite dimensional projection to approximate the slow-stable manifold, as well as the attached finite dimensional invariant vector bundles. This approximation provides a change of coordinates which largely removes the nonlinear terms in the slow stable directions. In this adapted coordinate system we apply the Lyapunov-Perron method, resulting in mathematically rigorous bounds on the approximation errors. As a result, we obtain significantly sharper bounds than would be obtained using only the linear approximation given by the eigendirections. As a concrete example we illustrate the technique for a 1D Swift-Hohenberg equation.
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