The gonality of curves on a Hirzebruch surface
The gonality of curves on a Hirzebruch surface
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Hirzebruch 曲面上曲线的棱性
DOI：
10.1007/bf01197600
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发表时间：
1996
影响因子：
0.6
通讯作者：
G. Martens
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
G. Martens
作为塞拉诺 (Serrano) 定理 ([4],[3]) 的一个应用，我们计算在 C 上定义并位于 Hirzebruch 曲面 Xe 上的平滑不可约曲线 C 的棱性 gon (C)（= 线性铅笔的最小阶数），即不变量 e> 0 的几何规则有理曲面 ([1], V, 2.13)。回想一下，Pic (Xe) 是由两条有理曲线 Co、F 的类生成的，其中 Co 是零截面 (Cg=-e)，F 是束映射 7Z 的纤维：X e--~ p 1。对于 e> 0，7r 的纤维构成 X e 的唯一规则（= 自交数为零的平滑不可约有理曲线的铅笔），而 Xo 恰好有两个规则（铅笔！F [当然还有 I Col）。人们期望 gon (C)= C" F （或可能 gon (C)= C 9 Co ire= t3），即“通过规则计算出角性”。然而，据我所知，这还没有得到证明。我们将给出一个简单的证明——有一个“明显的”例外。更准确地说，定理。设 C 是 Hirzebruch 曲面 X e 上的一条简化且不可约的曲线，并假设 C 不是纤维。那么从 C 到 IP 1 的态射的最小度 k 通过 X e 的规则计算，除非 X 1 (e= 1) 上的 C~~(CO+ F) 且 ~>= 2，在这种情况下，C 同构于 ~ 度平面曲线且 k=~-1。
As an application of a nice theorem of Serrano ([4],[3]) we compute the gonality gon (C)(= the smallest degree of a linear pencil) of a smooth irreducible curve C defined over C and lying on a Hirzebruch surface Xe, ie a geometrically ruled rational surface of invariant e> 0 ([1], V, 2.13). Recall, Pic (Xe) is generated by the classes of two rational curves C o, F where C o is a zero-section (Cg=-e) and F is a fibre of the bundle map 7Z: X e--~ p 1. For e> 0 the fibres of 7r constitute the only ruling (= pencil of smooth irreducible rational curves with self-intersection number zero) of X e whereas Xo has exactly two rulings (the pencils! F [and I Col, of course). One expects then that gon (C)= C" F (resp. possibly gon (C)= C 9 Co ire= t3), ie" the gonality is computed by a ruling". However, as far as I know this is still not proved. We will give a simple proof-with one" obvious" exception. More precisely, Theorem. Let C be a reduced and irreducible curve on a Hirzebruch surface X e and assume that C is not a fibre. Then the minimal degree k of a morphism from C onto IP 1 is computed by a ruling of X e unless C~~(CO+ F) on X 1 (e= 1) with~>= 2 in which case C is isomorphic to a plane curve of degree~ and k=~-1.