Conjectures on counting associative 3-folds in ?₂-manifolds
Conjectures on counting associative 3-folds
in ?₂-manifolds
复制标题
关于计算 ?υ-流形中结合 3 重的猜想
DOI：
10.1090/pspum/099/01739
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发表时间：
2016
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
D. Joyce
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
D. Joyce
紧凑、无扭转 $G_2$-流形 $(X,\varphi,*\varphi)$ 和 Calabi-Yau 3 折 $(Y,J,g,\omega)$ 之间存在很强的相似性。我们还可以将 $(X,\varphi,*\varphi)$ 概括为“驯服的几乎 $G_2$-流形”$(X,\varphi,\psi)$，其中我们将 $\varphi$ 与 $\omega$ 进行比较，将 $\psi$ 与 $J$ 进行比较。 $X$ 中的关联三重是一种特殊的最小子流形，类似于 $Y$ 中的 $J$ 全纯曲线。
辛几何的几个领域——格罗莫夫-维滕理论、量子上同调、拉格朗日弗洛尔上同调、深谷范畴——是使用$Y$中$J$全纯曲线的模空间“计数”来构建的，但给出的答案仅取决于辛流形$(Y,\omega)$，而不是（几乎）复杂的结构$J$。
我们研究是否可以通过“计数”紧凑关联三重 $N\subset X$ 来定义驯服的几乎 $G_2$-流形 $(X,\varphi,\psi)$ 的有趣不变量，使得不变量仅依赖于 $\varphi$，并且独立于用于定义关联三重的 4 形式 $\psi$。
我们推测，可以定义一个超势 $\Phi_\psi:{\mathcal U}\to\Lambda_{>0}$ '计数'关联 $\mathbb Q$-同源 3-球体 $N\subset X$，对于 $\varphi$ 固定，在 $\psi$ 中变形不变，直到某些重新参数化 $\Upsilon:{\mathcal U}\to{\mathcal底 ${\mathcal U}=$Hom$(H_3(X;{\mathbb Z}),1+\Lambda_{>0})$ 的 U}$，其中 $\Lambda_{>0}$ 是诺维科夫环。使用它，我们定义了“$G_2$量子上同调”的概念。这些想法可能与 $G_2$ 流形上的弦理论或 M 理论相关。
我们还在 arXiv:0902.3239 第 6.2 节中讨论了 Donaldson 和 Segal 的提议，定义在驯服的几乎 $G_2$-流形 $(X,\varphi,\psi)$ 上“计数”$G_2$-瞬时的不变量，并使用“补偿项”计数 $G_2$-瞬时的加权对和关联 3 倍，并建议对其进行一些修改。
There is a strong analogy between compact, torsion-free $G_2$-manifolds $(X,\varphi,*\varphi)$ and Calabi-Yau 3-folds $(Y,J,g,\omega)$. We can also generalize $(X,\varphi,*\varphi)$ to 'tamed almost $G_2$-manifolds' $(X,\varphi,\psi)$, where we compare $\varphi$ with $\omega$ and $\psi$ with $J$. Associative 3-folds in $X$, a special kind of minimal submanifold, are analogous to $J$-holomorphic curves in $Y$.
Several areas of Symplectic Geometry -- Gromov-Witten theory, Quantum Cohomology, Lagrangian Floer cohomology, Fukaya categories -- are built using 'counts' of moduli spaces of $J$-holomorphic curves in $Y$, but give an answer depending only on the symplectic manifold $(Y,\omega)$, not on the (almost) complex structure $J$.
We investigate whether it may be possible to define interesting invariants of tamed almost $G_2$-manifolds $(X,\varphi,\psi)$ by 'counting' compact associative 3-folds $N\subset X$, such that the invariants depend only on $\varphi$, and are independent of the 4-form $\psi$ used to define associative 3-folds.
We conjecture that one can define a superpotential $\Phi_\psi:{\mathcal U}\to\Lambda_{>0}$ 'counting' associative $\mathbb Q$-homology 3-spheres $N\subset X$ which is deformation-invariant in $\psi$ for $\varphi$ fixed, up to certain reparametrizations $\Upsilon:{\mathcal U}\to{\mathcal U}$ of the base ${\mathcal U}=$Hom$(H_3(X;{\mathbb Z}),1+\Lambda_{>0})$, where $\Lambda_{>0}$ is a Novikov ring. Using this we define a notion of '$G_2$ quantum cohomology'. These ideas may be relevant to String Theory or M-Theory on $G_2$-manifolds.
We also discuss Donaldson and Segal's proposal in arXiv:0902.3239, section 6.2, to define invariants 'counting' $G_2$-instantons on tamed almost $G_2$-manifolds $(X,\varphi,\psi)$, with 'compensation terms' counting weighted pairs of a $G_2$-instanton and an associative 3-fold, and suggest some modifications to it.
D 流形、d 轨道和导出的微分几何：详细总结
DOI：
10.48550/arxiv.1208.4948
发表时间：
2012
期刊：
arXiv e-prints
影响因子：
--
作者：
Joyce Dominic
通讯作者：
Joyce Dominic
仓西空间的新定义
DOI：
10.48550/arxiv.1409.6908
发表时间：
2014
期刊：
arXiv e-prints
影响因子：
--
作者：
Joyce Dominic
通讯作者：
Joyce Dominic