A skein action of the symmetric group on noncrossing partitions
A skein action of the symmetric group on noncrossing partitions
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对称群在非交叉分区上的绞纱作用
DOI：
10.1007/s10801-016-0701-y
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发表时间：
2015
影响因子：
0.8
通讯作者：
B. Rhoades
中科院分区：
文献类型：
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作者：
B. Rhoades
我们介绍并研究对称群 $${\mathfrak {S}}_n$$Sn 在由 $$\{1, 2,\ldots , n\}$${1,2,…,n} 的非交叉划分所跨越的向量空间上的新作用，其中相邻转置 $$(i, i+1) \in {\mathfrak {S}}_n$$(i,i+1)εSn 作用于通过绞线关系进行非交叉分区。我们表征了所得模块的同构类型，并使用它来获得循环筛分结果的新表示理论证明，该结果归因于 Reiner-Stanton-White 和 Pechenik 对各类非交叉分区上的旋转作用以及两行矩形递增画面上的 K 推广作用。我们的绞丝关系推广了考夫曼括号（或托勒密关系），并且可用于以 $${\mathfrak {S}}_n$$Sn 等变方式将任何集合划分解析为非交叉划分的线性组合。
We introduce and study a new action of the symmetric group $${\mathfrak {S}}_n$$Sn on the vector space spanned by noncrossing partitions of $$\{1, 2,\ldots , n\}$${1,2,…,n} in which the adjacent transpositions $$(i, i+1) \in {\mathfrak {S}}_n$$(i,i+1)∈Sn act on noncrossing partitions by means of skein relations. We characterize the isomorphism type of the resulting module and use it to obtain new representation-theoretic proofs of cyclic sieving results due to Reiner–Stanton–White and Pechenik for the action of rotation on various classes of noncrossing partitions and the action of K-promotion on two-row rectangular increasing tableaux. Our skein relations generalize the Kauffman bracket (or Ptolemy relation) and can be used to resolve any set partition as a linear combination of noncrossing partitions in a $${\mathfrak {S}}_n$$Sn-equivariant way.