A mixed boundary value problem for u = f(x,y,u,u,u)
A mixed boundary value problem for u = f(x,y,u,u,u)
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u−=−f(x,y,u,u,u) 的混合边值问题
DOI：
10.1016/j.jde.2019.11.063
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发表时间：
2020
影响因子：
2.4
通讯作者：
Kogan, Irina A.
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Jenssen, Helge Kristian;Kogan, Irina A.
考虑单个双曲PDE u x y= f (x, y, u, u x, u y)，具有局部规定的数据：u沿着非特征曲线M， u x沿着非特征曲线N。我们假设M和N是一对一函数的图，仅在原点相交，位于（x, y）平面的第一象限。已知如果M位于N以上，则存在一个唯一的局部解，可通过逐次逼近得到。我们证明了在相反的情况下，当M小于N时，唯一性可以在以下强烈意义上失效：对于相同的边界数据，在任意靠近原点的点处存在两个不同的解。对于后一种情况，我们也建立了局部解的存在性（在函数f的Lipschitz条件下）。通过皮卡德迭代的构造，利用了在每个迭代步骤中更新的额外u数据的仔细选择。
Consider a single hyperbolic PDE u x y= f (x, y, u, u x, u y), with locally prescribed data: u along a non-characteristic curve M and u x along a non-characteristic curve N. We assume that M and N are graphs of one-to-one functions, intersecting only at the origin, and located in the first quadrant of the (x, y)-plane. It is known that if M is located above N, then there is a unique local solution, obtainable by successive approximation. We show that in the opposite case, when M lies below N, the uniqueness can fail in the following strong sense: for the same boundary data, there are two solutions that differ at points arbitrarily close to the origin. In the latter case, we also establish existence of a local solution (under a Lipschitz condition on the function f). The construction, via Picard iteration, makes use of a careful choice of additional u-data which are updated in each iteration step.
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--
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J. E. Wright