The Hilbert Transform on the Two-Sphere: A Spectral Characterization
The Hilbert Transform on the Two-Sphere: A Spectral Characterization
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二球体上的希尔伯特变换：谱表征
DOI：
10.1007/s11004-010-9278-5
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发表时间：
2010
影响因子：
2.6
通讯作者：
G. Sommer
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
O. Fleischmann;L. Wietzke;G. Sommer
对地球表面信号进行局部分析是地球科学中的一项共同任务。在真实的线上，解析信号是局部一维信号处理中的一个重要表示。它的推广到二维是单演信号，并且在傅立叶域中的解析和单演信号的性质是众所周知的。球的推广是由Clifford分析中已知的球上的Hilbert变换给出的。为了获得谱表征，必须将变换分解成球谐函数。本文导出了球面上希尔伯特变换的球谐系数，并给出了一个级数展开式。这将表明，它作为一个微分算子的球谐基函数的拉普拉斯方程的解决方案，类似于Riesz变换在二维。这使得希尔伯特变换的解释适合于信号处理的信号自然产生的两个球体。我们证明了单位球上自然产生的尺度空间是Poisson尺度空间。此外，所获得的希尔伯特变换的解释用于平面波的取向分析。这种表示是有道理的，作为一种新的信号模型上的球，可用于构建强度和旋转不变的运营商的局部信号分析的尺度空间的概念。
The local analysis of signals arising on the sphere is a common task in earth sciences. On the real line the analytic signal turned out to be an important representation in local one-dimensional signal processing. Its generalization to two dimensions is the monogenic signal, and the properties of the analytic and the monogenic signal in the Fourier domain are well known. A generalization to the sphere is given by the Hilbert transform on the sphere known from Clifford analysis. To obtain a spectral characterization, the transform has to be decomposed into spherical harmonic functions. In this paper, we derive the spherical harmonic coefficients of the Hilbert transform on the sphere and give a series expansion. This will show that it acts as a differential operator on the spherical harmonic basis functions of the Laplace equation solution, analogously to the Riesz transform in two dimensions. This allows an interpretation of the Hilbert transform suitable for signal processing of signals naturally arising on the two-sphere. We show that the scale space naturally arising is a Poisson scale space in the unit ball. In addition, the obtained interpretation of the Hilbert transform is used for orientation analysis of plane waves. This representation is justified as a novel signal model on the sphere which can be used to construct intensity and rotation-invariant operators for local signal analysis in a scale-space concept.
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