Computational Dimension of Topological Spaces
Computational Dimension of Topological Spaces
复制标题
拓扑空间的计算维数
DOI：
10.1007/3-540-45335-0_19
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发表时间：
2000
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
H. Tsuiki
中科院分区：
文献类型：
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作者：
H. Tsuiki
当一个拓扑空间X可以被嵌入到n个序列的空间中时，那么我们可以在X上定义相应的计算概念，因为每个磁带上有n +1个磁头的机器可以输入/输出序列。这意味着使得X可以拓扑地嵌入到空间中的最小数目n，n作为空间的复杂度。我们证明，这个数字，我们称之为计算维数的空间，是等于拓扑维数的可分度量空间。首先，我们表明，弱归纳维数的nwisn，从而计算维数至少是一样大的弱归纳维数的所有空间。然后，我们证明了Nöbeling的普适n维空间可以嵌入到可分度量空间中，因此计算维数至多与可分度量空间的弱归纳维数一样大。作为一个推论，二维欧氏空间2可以嵌入到{0，1}，2 w中，但不能嵌入到，1 w中，对于任何字符集，无限维空间，如IR的闭/开/紧子集集和从1到m的连续函数集可以嵌入到，2 w中，但不能嵌入到：，nw中，对于任何n。
When a topological spaceXcan be embedded into the spaceΣ⊥,nw, ofn⊥-sequences ofΣ, then we can define the corresponding computational notion overXbecause a machine withn+1 heads on each tape can input/output sequences inΣ⊥,nw⋅. This means that the least numbernsuch thatXcan be topologically embedded intoΣ⊥,nwserves as a degree of complexity of the space. We prove that this number, which we call the computational dimension of the space, is equal to the topological dimension for separable metric spaces. First, we show that the weak inductive dimension ofΣ⊥,nwisn, and thus the computational dimension is at least as large as the weak inductive dimension for all spaces. Then, we show that the Nöbeling’s universaln-dimensional space can be embedded intoΣ⊥,nwand thus the computational dimension is at most as large as the weak inductive dimension for separable metric spaces. As a corollary, the 2-dimensional Euclidean space ℝ2can be embedded in {0,1}⊥,2wbut not inΣ⊥,1wfor any character setΣ, and infinite dimensional spaces like the set of closed/open/compact subsets ofIRmand the set of continuous functions from ℝlto ℝmcan be embedded inΣ⋅wbut not in:⊥,nwfor anyn.