On geometry of 2-nondegenerate CR structures of hypersurface type and flag structures on leaf spaces of Levi foliations
On geometry of 2-nondegenerate CR structures of hypersurface type and flag structures on leaf spaces of Levi foliations
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超曲面型2-非简并CR结构和Levi叶空间上旗形结构的几何
DOI：
10.1016/j.aim.2022.108850
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发表时间：
2023
影响因子：
1.7
通讯作者：
Zelenko, Igor
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Sykes, David;Zelenko, Igor
我们在实解析流形上构造了典范绝对平行，这些流形具有不小于7维的2-非退化超曲面型CR结构，其Levi核具有常数阶，属于我们标记为可恢复的CR结构的一个宽子类。为此，我们开发了一种新的方法，基于对CR结构的相关Levi叶层的叶空间上的特殊旗帜结构的约化，称为动态Legendrian接触结构。这将[23]的结果从构成所有CR码元集中的离散集合的规则CR码元的情况扩展到任意CR码元的情况，对于任意CR码元，可以从其对应的动态勒让德接触结构唯一地恢复原始CR结构。我们为这种可恢复性找到了一个明确的标准。具体地说，如果Levi核的秩为1并且CR流形的维度不小于7，则对于所有CR符号(取决于连续参数)的空间中的每个给定的简化Levi形式的签名，不存在超过2个符号的前述可恢复性失败，并且尽管本方法适用于除这两种情况之外的所有情况，但是可以通过[23]的方法来分别处理它们。我们的方法澄清了在[23]中发展的正则符号的双格型田中延伸与它们通常的田中延伸之间的关系，提供了它们相等的条件的几何解释。出于寻找具有给定非规则符号的齐次模型的动机，我们还描述了一个从原始自然框架丛简化的过程，这对于具有非规则CR符号的结构是不可避免的。我们证明了这种约化过程对于其基本流形具有7和9维的例子。我们证明，对于任何固定的秩r>；1，在与具有秩r的Levi核的2-非退化的超曲面型CR流形相关的所有CR符号的集合中，不与任何齐次模型相关的CR符号是一般的，并且，对于r=1，如果CR结构是伪凸的，则同样的结果也成立。
We construct canonical absolute parallelisms over real-analytic manifolds equipped with 2-nondegenerate, hypersurface-type CR structures of arbitrary odd dimension not less than 7 whose Levi kernel has constant rank belonging to a broad subclass of CR structures that we label as recoverable. For this we develop a new approach based on a reduction to a special flag structure, called the dynamical Legendrian contact structure, on the leaf space of the CR structure's associated Levi foliation. This extends the results of [23] from the case of regular CR symbols constituting a discrete set in the set of all CR symbols to the case of the arbitrary CR symbols for which the original CR structure can be uniquely recovered from its corresponding dynamical Legendrian contact structure. We find an explicit criterion for this recoverability. In particular, if the rank of the Levi kernel is 1 and the dimension of the CR manifold is not less than 7, then for each given signature of the reduced Levi form in the space of all CR symbols (which depend on continuous parameters) there are no more than 2 symbols for which the aforementioned recoverability fails, and while the present method is applicable for all but those 2 cases, they can be treated separately by the method of [23]. Our method clarifies the relationship between the bigraded Tanaka prolongation of regular symbols developed in [23] and their usual Tanaka prolongation, providing a geometric interpretation of conditions under which they are equal. Motivated by the search for homogeneous models with given nonregular symbols, we also describe a process of reduction from the original natural frame bundle, which is inevitable for structures with nonregular CR symbols. We demonstrate this reduction procedure for examples whose underlying manifolds have dimension 7 and 9. We show that, for any fixed rank r> 1, in the set of all CR symbols associated with 2-nondegenerate, hypersurface-type CR manifolds of odd dimension greater than 4 r+ 1 with rank r Levi kernel, the CR symbols not associated with any homogeneous model are generic, and, for r= 1, the same result holds if the CR structure is pseudoconvex.
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