Commuting varieties and cohomological complexity theory
Commuting varieties and cohomological complexity theory
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DOI：
10.1112/jlms.12650
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发表时间：
2022-07
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
Paul D. Levy;N. Ngo;Klemen Šivic
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Paul D. Levy;N. Ngo;Klemen Šivic
在本文中，我们确定，对于所有足够大的 r$r$，可交换 r$r$ 的各种交换 r$r$ 的最大维数的不可约分量 - gln$\mathfrak {gl}_n$ 的幂零元素元组。我们的主要结果是，在特征 ≠2,3$\ne 2,3$ 中，这个幂零通勤簇对于 n⩾4$n\geqslant 4$ 、 r⩾7$r\geqslant 7$ 具有维度 (r+1)⌊n24⌋$(r+1)\lfloor \frac{n^2}{4}\rfloor$ 。我们用它来查找在 r$r$ 和 n$n$ 的相同范围内的 gln$\mathfrak {gl}_n$ 和 sln$\mathfrak {sl}_n$ 的（普通） r$r$ 通勤变体的维数。我们的主要动机是幂零交换簇和有限群方案的上同调复杂性之间的联系，我们在论文的最后一节中利用它来获得 r$r$ th Frobenius 核 (GLn)(r)$(\operatorname{GL}_n)_{(r)}$ 上一大群模块的复杂性的显式值。这些结果表明，当限制为 G(r)$G_{(r)}$ 或 G(Fpr)$G(\mathbb {F}_{p^r})$ 时，有理 G$G$ ‐模块 M$M$ 的复杂性之间存在不平等；随后，我们为在具有良好特性的代数闭域上定义的每个简单代数群 G$G$ 建立了这个不等式，显着扩展了 Lin 和 Nakano, Inventiones Mathematicae, 138 (1999), 85–101 的主要定理。
In this paper we determine, for all r$r$ sufficiently large, the irreducible component(s) of maximal dimension of the variety of commuting r$r$ ‐tuples of nilpotent elements of gln$\mathfrak {gl}_n$ . Our main result is that in characteristic ≠2,3$\ne 2,3$ , this nilpotent commuting variety has dimension (r+1)⌊n24⌋$(r+1)\lfloor \frac{n^2}{4}\rfloor$ for n⩾4$n\geqslant 4$ , r⩾7$r\geqslant 7$ . We use this to find the dimension of the (ordinary) r$r$ th commuting varieties of gln$\mathfrak {gl}_n$ and sln$\mathfrak {sl}_n$ for the same range of values of r$r$ and n$n$ . Our principal motivation is the connection between nilpotent commuting varieties and cohomological complexity of finite group schemes, which we exploit in the last section of the paper to obtain explicit values for complexities of a large family of modules over the r$r$ th Frobenius kernel (GLn)(r)$(\operatorname{GL}_n)_{(r)}$ . These results indicate an inequality between the complexities of a rational G$G$ ‐module M$M$ when restricted to G(r)$G_{(r)}$ or to G(Fpr)$G(\mathbb {F}_{p^r})$ ; we subsequently establish this inequality for every simple algebraic group G$G$ defined over an algebraically closed field of good characteristic, significantly extending the main theorem of Lin and Nakano, Inventiones Mathematicae, 138 (1999), 85–101.