On the Finsler structure of Teichmüller’s metric and Thurston’s metric
On the Finsler structure of Teichmüller’s metric and Thurston’s metric
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论泰希穆勒度量和瑟斯顿度量的芬斯勒结构
DOI：
10.1016/j.exmath.2013.12.007
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发表时间：
2015
影响因子：
0.7
通讯作者：
Weixu Su
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
A. Papadopoulos;Weixu Su
Teichmüller空间有几个重要的度量。其中之一是经典的Teichmüller度量，由Teichmüller在1939年引入，另一个是Thurston的不对称度量，由Thurston在1986年引入。瑟斯顿定义了他的非对称度量类比泰希米勒的度量，作为一个极端问题的解决方案。两点之间的Teichmüller距离定义为在给定同伦类中两个共形结构之间的映射寻找最佳拟共形常数的结果，而Thurston距离定义为在给定同伦类中两个双曲结构之间的同胚寻找最佳Lipschitz常数的结果。事实证明，Thurston的非对称度量的一些已知性质背后的思想可以用来获得对Teichmüller度量的新见解，反之亦然。本文的目的是突出这两个度量的芬斯勒（无穷小）属性之间的几个类比。在这个方向上，类比于Thurston关于非对称度量的向量的Finsler范数公式，我们给出了Teichmüller度量的向量的Finsler范数的新公式。前者使用双曲长度函数，后者使用极值长度函数。我们还描述了投影测量叶理空间在Teichmüller空间余切空间中的嵌入。这个嵌入的图像是与Teichmüller度量相关联的Finsler结构的单位球的对偶的边界。
There are several important metrics on Teichmüller space. One of them is the classical Teichmüller metric, introduced by Teichmüller in 1939, and another one is Thurston’s asymmetric metric, introduced by Thurston in 1986. Thurston defined his asymmetric metric in analogy with Teichmüller’s metric, as a solution to an extremal problem. Whereas the Teichmüller distance between two points is defined as the result of searching for the best quasiconformal constant for a map between two conformal structures in a given homotopy class, the Thurston distance is defined as the result of searching for the best Lipschitz constant of a homeomorphism between two hyperbolic structures in a given homotopy class. It turns out that the ideas underlying some known properties of Thurston’s asymmetric metric can be used to get new insight into Teichmüller’s metric, and vice versa. The aim of this paper is to highlight several analogies between the Finsler (infinitesimal) properties of these two metrics. In this direction, in analogy with Thurston’s formula for the Finsler norm of a vector with respect to the asymmetric metric, we give a new formula for the Finsler norm of a vector for Teichmüller’s metric. Whereas the former uses the hyperbolic length function, the latter uses the extremal length function. We also describe an embedding of projective measured foliation space in the cotangent space to Teichmüller space. The image of this embedding is the boundary of the dual of the unit ball for the Finsler structure associated to Teichmüller’s metric.
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DOI：
10.1007/978-4-431-68174-8
发表时间：
1992-07
期刊：
--
影响因子：
--
作者：
M. Taniguchi;M. Taniguchi;Ysoichi Imayoshi;Yôichi Imayoshi
通讯作者：
M. Taniguchi;M. Taniguchi;Ysoichi Imayoshi;Yôichi Imayoshi
影响因子：
0.5
作者：
G. Théret
通讯作者：
G. Théret
DOI：
10.5186/aasfm.2010.3515
发表时间：
2009-03
期刊：
arXiv: Geometric Topology
影响因子：
--
作者：
Li-Xing Liu;A. Papadopoulos;W. Su;G. Th'eret
通讯作者：
Li-Xing Liu;A. Papadopoulos;W. Su;G. Th'eret
DOI：
--
发表时间：
1973
期刊：
--
影响因子：
--
作者：
L. Ahlfors
通讯作者：
L. Ahlfors
DOI：
10.1090/s0002-9904-1973-13232-x
发表时间：
1973-03
影响因子：
1.3
作者：
E. Reich;K. Strebel
通讯作者：
E. Reich;K. Strebel