Spatially quasi-periodic bifurcations from periodic traveling water waves and a method for detecting bifurcations using signed singular values
Spatially quasi-periodic bifurcations from periodic traveling water waves and a method for detecting bifurcations using signed singular values
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周期性行进水波的空间准周期分岔以及使用有符号奇异值检测分岔的方法
DOI：
10.1016/j.jcp.2023.111954
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发表时间：
2023
影响因子：
4.1
通讯作者：
Zhao, Xinyu
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Wilkening, Jon;Zhao, Xinyu
我们提出了一种通过定位雅可比最小奇异值的符号形式的零点来检测分支的方法。这使得能够使用二次收敛的根括号技术或切比雪夫插值法来定位分叉点。虽然该方法依赖于解析或光滑奇异值分解(SVD)的存在，但只需计算正奇异值。作为SVD算法中双对角化简的一部分，雅可比矩阵行列式的符号消除了在最小奇异值的零点处的斜率不连续性。我们用这种方法来寻找从大振幅周期波分支出来的空间准周期行波。为了便于准周期Dirichlet-Neumann算子的计算，在保角变换框架下建立了水波方程。我们发现了表面张力为零的纯重力波和悬垂重力-毛细波的例子。在这两种情况下，波都有两个空间准周期，它们的比例是无理的。我们沿着二次支路进行数值延拓，超越了一次支路上解的线性化范围，得到了在实线上延伸的行波，没有两个形状完全相同的波峰或波谷。纯重力波问题与海浪有关，其中毛细管效应可以忽略不计。这种波只能通过二次分叉存在，因为它们不会持续到零振幅。重力-毛细波问题证明了用带符号最小奇异值作为多参数分叉问题的检验函数的有效性。一旦网格足够精细，该测试函数将变为独立于网格。
We present a method of detecting bifurcations by locating zeros of a signed version of the smallest singular value of the Jacobian. This enables the use of quadratically convergent root-bracketing techniques or Chebyshev interpolation to locate bifurcation points. Only positive singular values have to be computed, though the method relies on the existence of an analytic or smooth singular value decomposition (SVD). The sign of the determinant of the Jacobian, computed as part of the bidiagonal reduction in the SVD algorithm, eliminates slope discontinuities at the zeros of the smallest singular value. We use the method to search for spatially quasi-periodic traveling water waves that bifurcate from large-amplitude periodic waves. The water wave equations are formulated in a conformal mapping framework to facilitate the computation of the quasi-periodic Dirichlet-Neumann operator. We find examples of pure gravity waves with zero surface tension and overhanging gravity-capillary waves. In both cases, the waves have two spatial quasi-periods whose ratio is irrational. We follow the secondary branches via numerical continuation beyond the realm of linearization about solutions on the primary branch to obtain traveling water waves that extend over the real line with no two crests or troughs of exactly the same shape. The pure gravity wave problem is of relevance to ocean waves, where capillary effects can be neglected. Such waves can only exist through secondary bifurcation as they do not persist to zero amplitude. The gravity-capillary wave problem demonstrates the effectiveness of using the signed smallest singular value as a test function for multi-parameter bifurcation problems. This test function becomes mesh independent once the mesh is fine enough.
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