Hyperplane mass partitions via relative equivariant obstruction theory
Hyperplane mass partitions via relative equivariant obstruction theory
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通过相对等变障碍理论进行超平面质量划分
DOI：
10.4171/dm/544
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发表时间：
2015
影响因子：
0.9
通讯作者：
G. Ziegler
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Pavle V. M. Blagojevi'c;F. Frick;Albert Haase;G. Ziegler
Grunbaum-Hadwiger-拉莫斯超平面质量分配问题是由Grunbaum（1960）在一个特殊情况下引入的，而一般形式是由拉莫斯（1996）引入的。它要求“可接受的”三重数$（d，j，k）$，使得对于$\mathbb{R}^d$中的任何$j$质量，都有$k$超平面将每个质量切割成$2^k$等份。拉莫斯猜想是Avis-拉莫斯必要下界条件dk\gej（2^k-1）也是充分的。
我们为这个问题发展了一个“连接方案”，使得球面$（S^d）^{*k} \rightarrow S（W_k\oplus U_k^{\oplus j}）$之间不存在一个$G_k$-等变映射，它在$（S^d）^{*k}$的子空间上扩展了一个测试映射，其中超八面体群$G_k$非自由作用，这意味着$（d，j，k）$是可容许的.
对于球面$（S^d）^{*k}$，我们得到了一个非常有效的正则胞元分解，其胞元得到了关于修正矩曲线上的测度的组合解释。这使我们能够成功地应用相对等变阻塞理论，即使在球$（S^d）^{*k}$和$S（W_k\oplus U_k^{\oplus j}）$的维数之差大于1的情况下。障碍类的评估导致级联格雷码的计数问题。
因此，我们给出了一个严格的，统一的处理以前公布的情况下的Grunbaum-Hadwiger-拉莫斯问题，以及一些新的情况下，拉莫斯猜想。
The Grunbaum-Hadwiger-Ramos hyperplane mass partition problem was introduced by Grunbaum (1960) in a special case and in general form by Ramos (1996). It asks for the "admissible" triples $(d,j,k)$ such that for any $j$ masses in $\mathbb{R}^d$ there are $k$ hyperplanes that cut each of the masses into $2^k$ equal parts. Ramos' conjecture is that the Avis-Ramos necessary lower bound condition $dk\ge j(2^k-1)$ is also sufficient.
We develop a "join scheme" for this problem, such that non-existence of an $G_k$-equivariant map between spheres $(S^d)^{*k} \rightarrow S(W_k\oplus U_k^{\oplus j})$ that extends a test map on the subspace of $(S^d)^{*k}$ where the hyperoctahedral group $G_k$ acts non-freely, implies that $(d,j,k)$ is admissible.
For the sphere $(S^d)^{*k}$ we obtain a very efficient regular cell decomposition, whose cells get a combinatorial interpretation with respect to measures on a modified moment curve. This allows us to apply relative equivariant obstruction theory successfully, even in the case when the difference of dimensions of the spheres $(S^d)^{*k}$ and $S(W_k\oplus U_k^{\oplus j})$ is greater than one. The evaluation of obstruction classes leads to counting problems for concatenated Gray codes.
Thus we give a rigorous, unified treatment of the previously announced cases of the Grunbaum-Hadwiger-Ramos problem, as well as a number of new cases for Ramos' conjecture.
GrünbaumâHadwigerâRamos 超平面质量分配问题的拓扑
影响因子：
1.3
作者：
Blagojević;Pavle V M;Florian;Albert;Ziegler;Günter M
通讯作者：
Günter M