Analysis of the Operator Δ^-1div Arising in Magnetic Models
Analysis of the Operator Δ^-1div Arising in Magnetic Models
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磁模型中算子Δ^-1div的分析
DOI：
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发表时间：
2004
期刊：
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通讯作者：
D. Praetorius
中科院分区：
文献类型：
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作者：
D. Praetorius
在微磁学的背景下，对于给定的磁化强度m，R中的偏微分方程div(−∇u+m)=0必须在整个空间中求解：Ω→Rd和Ω⊆Rd。对于Lp函数m，我们证明了解可能不在经典的Sobolev空间W1，p(Rd)中，但必须在Beppo-Levi类Wp1(Rd)中。我们证明了Wp1(Rd)的唯一可解性，并给出了通过与牛顿势有关的非局部积分算子Lp求u的直接方法。提出了计算∇(L2m)的一种可能的离散化方法，并展示了最近建立的使用分层矩阵的矩阵压缩技术如何应用于从离散算子获得的全矩阵。
In the context of micromagnetics the partial differential equation div(−∇u + m) = 0 in R has to be solved in the entire space for a given magnetization m : Ω → Rd and Ω ⊆ Rd. For an Lp function m we show that the solution might fail to be in the classical Sobolev space W 1,p(Rd) but has to be in a Beppo-Levi class W p 1 (Rd). We prove unique solvability in W p 1 (Rd) and provide a direct ansatz to obtain u via a non-local integral operator Lp related to the Newtonian potential. A possible discretization to compute ∇(L2m) is mentioned, and it is shown how recently established matrix compression techniques using hierarchical matrices can be applied to the full matrix obtained from the discrete operator.