The adjoint representation of a reductive group and hyperplane arrangements
The adjoint representation of a reductive group and hyperplane arrangements
复制标题
约简群和超平面排列的伴随表示
DOI：
--
复制
发表时间：
1999
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
J. Douglass
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
J. Douglass
设 G 是一个连通的还原代数群，李代数 g 定义在代数闭域 k 上，且 char k = 0。用列维分解 P = LU 修复 G 的抛物线子群，其中 U 是 P 的单能根。令 u = Lie(U) 并令 z 表示 Lie(L) 的中心。令 T 为 L 中李代数 t 的最大环面。那么 (g, t) 的根系是 t* 的子集，并且通过对 z 的限制，u 中 t 的根决定了 z 中超平面的排列，我们用 Az 表示。在本文中，我们构造了分级 k[z]-模 HomG(g ∗, k[G×P (z + u)]) ∼= D(Az) 的同构，其中 D(Az) 是 Az 导数的 k[z]-模。我们还证明 HomG(g*, k[G×P (z + u)]) 和 k[z]⊗HomG(g*, k[G×P u]) 是同构分级 k[z]-模块，因此 D(Az) 和 k[z]⊗HomG(g*, k[G×P u]) 是同构分级 k[z]-模块。由此可见 Az 是自由超平面排列。 Orlik 和 Terao 通过具体案例论证证明了这一结果。通过跟踪所涉及的分级，并回顾 g 提供 G 的自对偶表示，我们恢复了 Sommers、Trapa 和 Broer 的结果，其中指出 G 的伴随表示作为分级有理 G 模 k[G×P u] 的组成部分出现的次数是 Az 的指数。 Sommers 和 Trapa 以及 Broer 独立地再次使用具体案例论证证明了这一结果。
Let G be a connected reductive algebraic group with Lie algebra g defined over an algebraically closed field, k, with char k = 0. Fix a parabolic subgroup of G with Levi decomposition P = LU where U is the unipotent radical of P . Let u = Lie(U) and let z denote the center of Lie(L). Let T be a maximal torus in L with Lie algebra t. Then the root system of (g, t) is a subset of t∗ and by restriction to z, the roots of t in u determine an arrangement of hyperplanes in z we denote by Az. In this paper we construct an isomorphism of graded k[z]-modules HomG(g ∗, k[G×P (z + u)]) ∼= D(Az), where D(Az) is the k[z]-module of derivations of Az. We also show that HomG(g∗, k[G×P (z + u)]) and k[z]⊗HomG(g∗, k[G×P u]) are isomorphic graded k[z]-modules, so D(Az) and k[z]⊗HomG(g∗, k[G×P u]) are isomorphic, graded k[z]-modules. It follows immediately that Az is a free hyperplane arrangement. This result has been proved using case-by-case arguments by Orlik and Terao. By keeping track of the gradings involved, and recalling that g affords a self-dual representation of G, we recover a result of Sommers, Trapa, and Broer which states that the degrees in which the adjoint representation of G occurs as a constituent of the graded, rational G-module k[G×P u] are the exponents of Az. This result has also been proved, again using case-by-case arguments, by Sommers and Trapa and independently by Broer.