The Capelli eigenvalue problem for Lie superalgebras
The Capelli eigenvalue problem for Lie superalgebras
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李超代数的 Capelli 特征值问题
DOI：
10.1007/s00209-019-02289-7
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发表时间：
2020
影响因子：
0.8
通讯作者：
Serganova, Vera
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Sahi, Siddhartha;Salmasian, Hadi;Serganova, Vera
对于有限维单位复单Jordan超代数J，Tits-Kantor-Koecher构造得到一个3-阶化李超代数，使得。塞坦在大多数情况下，V上的超多项式空间是V的完全可约且无重数的表示，并且存在直和分解，其中V是一族由一组划分参数化的不可约模.在这些情况下，可以定义一个自然的基础“Capelli运营商”的代数不变的超多项式微分算子V。本文完成了Capelli本征值问题的求解，该问题要求确定作用于的标量，我们将一个限制根系与对应于J的对称对联系起来，J是型变形根系或型根系。我们证明了一个充分必要条件的结构为完全可约和多重性自由。当满足后一个条件时，我们得到了特征值的显式公式，当是时，用Sergeev-Veselov的移位超Jack多项式表示，当是时，用Okounkov-Ivanov的阶乘SchurQ多项式表示。沿着这条路，我们证明了从包络代数的中心到10维例外Jordan超代数的自然映射在所有情况下都是满射的。
For a finite dimensional unital complex simple Jordan superalgebraJ, the Tits–Kantor–Koecher construction yields a 3-graded Lie superalgebra, such that. Setand. In most cases, the spaceof superpolynomials onVis a completely reducible and multiplicity-free representation of, and there exists a direct sum decomposition, whereis a family of irreducible-modules parametrized by a set of partitions. In these cases, one can define a natural basisof “Capelli operators” for the algebraof-invariant superpolynomial differential operators onV. In this paper we complete the solution to the Capelli eigenvalue problem, which asks for the determination of the scalarby whichacts on. We associate a restricted root systemto the symmetric pairthat corresponds toJ, which is either a deformed root system of typeor a root system of type. We prove a necessary and sufficient condition on the structure offorto be completely reducible and multiplicity-free. Whensatisfies the latter condition we obtain an explicit formula for the eigenvalue, in terms of Sergeev–Veselov’s shifted super Jack polynomials whenis of type, and Okounkov-Ivanov’s factorial SchurQ-polynomials whenis of type. Along the way, we prove that the natural map from the centre of the enveloping algebra ofintois surjective in all cases except when, whereis the 10-dimensional exceptional Jordan superalgebra.
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