New Families of Embedded Triply Periodic Minimal Surfaces of Genus Three in Euclidean Space
New Families of Embedded Triply Periodic Minimal Surfaces of Genus Three in Euclidean Space
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欧氏空间中属三嵌入三周期极小曲面的新族
DOI：
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发表时间：
2010
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
Adam G. Weyhaupt
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Adam G. Weyhaupt
直到 1970 年，所有已知的嵌入三周期最小曲面 (ETPMS) 的示例都包含平面对称的直线或曲线。 1970 年，Alan Schoen 发现了陀螺仪，这是一种既不包含直线也不包含平面对称曲线的 ETPMS。 Meeks 于 1975 年发现了 3 属 ETPMS 的 5 参数家族，其中包含除陀螺仪之外所有已知的 3 属 ETPMS 实例。 Meeks 家族之外的第二个例子是 Lidin 在 1990 年提出的。Große-Brauckmann 和 Wohlgemuth 在 1996 年证明了陀螺仪和“Lidinoid”的存在和嵌入性。在一系列研究中，科学家 Lidin 等人。等人，用数字表明存在两个包含陀螺仪的 1 参数 ETPMS 家族和一个包含 Lidinoid 的家族。在本文中，我们证明了这些家庭的存在。为了证明这些族的存在，我们使用非矩形环面的分支覆盖来描述黎曼表面结构。全纯 1-形式 Gdh、1 Gdh 和 dh 各自在环面上放置一个圆锥度量；我们将具有该度量的环面展开到平面中，并用这些平面结构来描述周期。使用周期的这种描述，我们为水平和垂直周期问题定义模空间，以便如果由这些 1-形式引起的 X 的平面结构位于模空间中，则 Weierstraß 数据 (X, G, dh) 可以解决周期问题。为了表明存在合适数据的曲线，我们使用中间值类型参数。
Until 1970, all known examples of embedded triply periodic minimal surfaces (ETPMS) contained either straight lines or curves of planar symmetry. In 1970, Alan Schoen discovered the gyroid, an ETPMS that contains neither straight lines nor planar symmetry curves. Meeks discovered in 1975 a 5-parameter family of genus 3 ETPMS that contained all known examples of genus 3 ETPMS except the gyroid. A second example lying outside the Meeks family was proposed by Lidin in 1990. Große-Brauckmann and Wohlgemuth showed in 1996 the existence and embeddedness of the gyroid and “Lidinoid”. In a series of investigations the scientists, Lidin, et. al., numerically indicate the existence of two 1-parameter families of ETPMS that contain the gyroid and one family that contains the Lidinoid. In this thesis, we prove the existence of these families. To prove the existence of these families, we describe the Riemann surface structure using branched covers of non-rectangular tori. The holomorphic 1-forms Gdh, 1 Gdh, and dh each place a cone metric on the torus; we develop the torus with this metric into the plane and describe the periods in terms of these flat structures. Using this description of the periods, we define moduli spaces for the horizontal and vertical period problems so that Weierstraß data (X, G, dh) solves the period problem if the flat structures of X induced by these 1-forms are in the moduli spaces. To show that there is a curve of suitable data, we use an intermediate value type argument.