Two Results on Union-Closed Families
Two Results on Union-Closed Families
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联合封闭家庭的两个结果
DOI：
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发表时间：
2017
期刊：
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通讯作者：
Ilan Karpas
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Ilan Karpas
我们证明存在一些绝对常数 $c>0$，这样对于任何并闭族 $mathcal{F} subseteq 2^{[n]}$，如果 mbox{$|mathcal{F}| geq (frac{1}{2}-c)2^n$}，则 [n]$ 中有某个元素 $i 至少出现在 $mathcal{F}$ 集合的一半中。我们还表明，对于任何联合封闭族 $mathcal{F} subseteq 2^{[n]}$，不在 $mathcal{F}$ 中但覆盖 $mathcal{F}$ 中的集合的集合数量最多为 $2^{n-1}$，并提供了不等式严格的示例。
We show that there is some absolute constant $c>0$, such that for any union-closed family $mathcal{F} subseteq 2^{[n]}$, if mbox{$|mathcal{F}| geq (frac{1}{2}-c)2^n$}, then there is some element $i in [n]$ that appears in at least half of the sets of $mathcal{F}$. We also show that for any union-closed family $mathcal{F} subseteq 2^{[n]}$, the number of sets which are not in $mathcal{F}$ that cover a set in $mathcal{F}$ is at most $2^{n-1}$, and provide examples where the inequality is tight.