Hausdorff dimension of some sets arising by the run-length function of β-expansions
Hausdorff dimension of some sets arising by the run-length function of β-expansions
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由 β 展开的游程函数产生的某些集合的豪斯多夫维数
DOI：
10.1016/j.jmaa.2017.06.001
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发表时间：
2017-11
影响因子：
1.3
通讯作者：
Meiying LV
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Jia Liu;Meiying LV
设β>1为实数。对于任何 x∈[0, 1]，游程函数 r n (x, β) 定义为 x 的 β 展开中前 n 个数字中最长的 0 游程的长度。设 {δ n} n≥ 1 为非递减整数序列，并定义 E ({δ n} n≥ 1)={x ∈ [0, 1]: lim su p n→∞ r n (x, β) δ n= 1}。在本文中，我们证明了昏暗的 H E ({δ n} n≥ 1)= max{0, 1− lim inf n→∞ δ n⧸ n}。用同样的方法，我们还研究了 Erdös-Rényi 极限定理中异常集的一类极其精细的子集。准确地说，我们证明如果 lim inf n→∞ δ n n= 0，则集合 E max ({δ n} n≥ 1)={x∈[0, 1]： lim inf n→∞ r n (x, β) δ n= 0，lim su n→∞ r n (x, β) δ n=+∞} 具有满 Hausdorff 维数。
Let β> 1 be a real number. For any x∈[0, 1], the run-length function r n (x, β) is defined as the length of the longest run of 0's amongst the first n digits in the β-expansion of x. Let {δ n} n≥ 1 be a non-decreasing sequence of integers and define E ({δ n} n≥ 1)={x∈[0, 1]: lim sup n→∞ r n (x, β) δ n= 1}. In this paper, we show that dim H E ({δ n} n≥ 1)= max{0, 1− lim inf n→∞ δ n⧸ n}. Using the same method, we also study a class of extremely refined subset of the exceptional set in Erdös–Rényi limit theorem. Precisely, we prove that if lim inf n→∞ δ n n= 0, then the set E max ({δ n} n≥ 1)={x∈[0, 1]: lim inf n→∞ r n (x, β) δ n= 0, lim sup n→∞ r n (x, β) δ n=+∞} has full Hausdorff dimension.
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DOI：
10.1007/s00605-016-0974-1
发表时间：
2016-09
期刊：
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--
作者：
Yu Sun;Jian Xu
通讯作者：
Yu Sun;Jian Xu
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