Null curves in $${\mathbb{C}^3}$$ and Calabi–Yau conjectures
Null curves in $${\mathbb{C}^3}$$ and Calabi–Yau conjectures
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$${mathbb{C}^3}$$ 中的零曲线和卡拉比-丘猜想
DOI：
10.1007/s00208-012-0790-4
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发表时间：
2009
影响因子：
1.4
通讯作者：
F. J. López
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
A. Alarcón;F. J. López
对于任意开可定向曲面M和凸域$$\Omega\子集\→Ω，存在一个与M同胚的黎曼曲面N和一个完备的真零曲线F：N。这一结果源于一个具有许多应用的一般存在定理。其中，对于$$\mathbb{C}^2}中的任何凸域Ω，存在一个与M同胚的黎曼曲面N和一个完全真全纯浸入F：N→Ω。此外，如果$${D子集\mathbb{R}^2}$$是凸域，且Ω是D中的实心右圆柱体$${{x\in\mathbb{C}^2\，|\，\mbox{Re}(X)，则可以选择F，使得Re(F)：n→D是适当的。存在与M同胚的Riemann曲面N和完全有界全纯零浸入$${F：N\to{\rMSL}(2，\mathbb{C})。}$$存在完全有界CMC-1浸入$${X：m\to\mathbb{H}^3。}$$对于任何凸域${\omegga\子集\mathbb{R}^3}$$，存在完全有界极小浸入(Xj)j=1，2，3：M→Ω，且通量为零。此外，如果$${D子集\Mathbb{R}^2}$$是一个凸域，且$${Omega={(X_J)_{j=1，2，3}\in{R}^3，|，(x_1，x_2)\in D，}$$则X可以被选择，使得(X1，X2)：M→D是真的。上述任意一种曲面都可以选择具有双曲保形结构。
For any open orientable surface M and convex domain $${\Omega\subset \mathbb{C}^3,}$$ there exist a Riemann surface N homeomorphic to M and a complete proper null curve F : N → Ω. This result follows from a general existence theorem with many applications. Among them, the followings: For any convex domain Ω in $${\mathbb{C}^2}$$ there exist a Riemann surface N homeomorphic to M and a complete proper holomorphic immersion F : N → Ω. Furthermore, if $${D \subset \mathbb{R}^2}$$ is a convex domain and Ω is the solid right cylinder $${\{x \in \mathbb{C}^2 \,|\, \mbox{Re}(x) \in D\},}$$ then F can be chosen so that Re(F) : N → D is proper. There exist a Riemann surface N homeomorphic to M and a complete bounded holomorphic null immersion $${F:N \to {\rm SL}(2, \mathbb{C}).}$$ There exists a complete bounded CMC-1 immersion $${X:M \to \mathbb{H}^3.}$$ For any convex domain $${\Omega \subset \mathbb{R}^3}$$ there exists a complete proper minimal immersion (Xj)j=1,2,3 : M → Ω with vanishing flux. Furthermore, if $${D \subset \mathbb{R}^2}$$ is a convex domain and $${\Omega=\{(x_j)_{j=1,2,3} \in \mathbb{R}^3 \,|\, (x_1,x_2) \in D\},}$$ then X can be chosen so that (X1, X2) : M → D is proper. Any of the above surfaces can be chosen with hyperbolic conformal structure.
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