Oscillatory blow-up in nonlinear second order ODE's: The critical case
Oscillatory blow-up in nonlinear second order ODE's: The critical case
复制标题
非线性二阶 ODE 中的振荡爆炸：关键情况
DOI：
10.3934/dcds.2003.9.577
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发表时间：
2003
影响因子：
1.1
通讯作者：
P. Souplet
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
M. Balabane;M. Jazar;P. Souplet
考虑这个等式
$u''+|u|^{p-1}u=b|u'|^{q-1}u',\quad t\geq 0,\qquad $ (E)
其中$p$, $q>1$和$b>0$是实数。的详细研究
大时间行为
(E)的解在[5]中进行。我们在这里调查
关键情况$q=2p/(p+1)$是
尺度不变的，没有在[5]中覆盖。我们证明所有
非平凡解在有限时间内爆破
在爆炸附近的渐近性表现出很强的
依赖于$b$的值。即，
(a)如果$b\geq b_1(p):=(p+1)((p+1)/2p)^{p/(p+1)}$；
然后所有的解决方案都泡汤了
上面有一个标志，还有速率
$u(t)$$\pm (T-t)^{-2/(p-1)}\quad$ as $ t\to T;$
(b)若$b$ < $b_1(p)$，则所有解都有
振荡放大，带
$u(t)=(T-t)^{-2/(p-1)}w$ (log $(T-t)+C$)；
在哪里$w(s)$
是一个单符号变换的周期函数。
我们的证明
依靠摄动能量参数，不变区域
以及通过庞加莱-本迪克森对$w$方程的研究
指标理论。
Consider the equation
$u''+|u|^{p-1}u=b|u'|^{q-1}u',\quad t\geq 0,\qquad $(E)
where $p$, $q>1$ and $b>0$ are real numbers. A detailed study of
the large-time behavior
of solutions of (E) was carried out in [5]. We here investigate
the critical case $q=2p/(p+1)$, which is
scale-invariant and was not covered in [5]. We prove that all
nontrivial solutions blow-up in finite time and
that the asymptotic behavior near blow-up exhibits a strong
dependence upon the values of $b$. Namely,
(a) if $b\geq b_1(p):=(p+1)((p+1)/2p)^{p/(p+1)}$,
then all solutions blow
up with a sign, with the rate
$u(t)$~$\pm (T-t)^{-2/(p-1)}\quad$ as $ t\to T;$
(b) if $b$<$b_1(p)$, then all solutions have
oscillatory blow-up, with
$u(t)=(T-t)^{-2/(p-1)}w$(log$(T-t)+C$),
where $w(s)$
is a single sign-changing periodic function.
Our proofs
rely on perturbed energy arguments, invariant regions
and on the study of the equation for $w$ via Poincare-Bendixson
and index theory.