Relèvements des algèbres lisses et de leurs morphismes
Relèvements des algèbres lisses et de leurs morphismes
复制标题
代数与态射的关系
DOI：
10.1007/s00014-001-8322-y
复制
发表时间：
2001
影响因子：
0.9
通讯作者：
A. Arabia
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
A. Arabia
抽象的。设R是交换环，I是R的任一理想，使${\bf\it\bar R}：={\bf\it R}/{\bf\it i}$。证明了对于任意光滑的$\bf\it\bar R$-代数$\bf\it\bar A$，存在一个光滑R-代数A使得$\bf\it\bar A$同构于
${\bf\it\bar R}\oTimes_{\bf\it R}{\bf\it A}$。我们还证明了对于光滑$\bf\it\bar R$-代数${\it\bar A}的任意态射：{\bf\it\bar A}\right tarrow{\bf\it\bar B}$，存在光滑R-代数${\it a}的态射：{\bf\it A}\right tarrow{\bf\it B}$使得${\bf 1}\o次{\it a}：{\bf\it\bar R}\o次{\bf\it\bar R}\次{\bf\it\bar R}\次{\bf\it B}$同构于${\it\bar A}：{\bf\it\bar A}\right tarrow{\bf\it\bar B}$。作为推论，当R是nœ元时，我们证明了对任意光滑的$\bf\it\bar R$-代数$\bf\it\bar A$，存在R上的一个非常光滑的弱完备代数${\bf\it A}^\dagger$，使得${\bf\it\bar R}\oTimes{\bf\it A}^\dagger$与$\bf\it\bar A$同构。[参考译文][晓雨-0920交稿]，节点${\bf\it\bar R}：={\bf\it R}/{\bf\it i}$。Nous Prouvons que Pour Toute$\bf\it\bar R$-algèbre lisse$\bf\it\bar A$e-algèbre lisse a telle que$\bf\it\bar A$est isomorpheà
${\bf\it\bar R}\oTimes_{\bf\it R}{\bf\it A}$。Nous Prouvonségalement que Pour tout Morphisme de$\bf\it\bar R$-algèbres lises${\it\bar a}：{\bf\it\bar A}\right tarrow{\bf\it\bar B}$，R-algèbres列表中存在${\it a}：{\bf\it A}\right tarrow{\bf\it B}$tel que${\bf 1}\o次{\it a}：{\bf\it\bar R}\o次{\bf\it A}\o次{\bf\it\bar R}\o次{\bf\it B}$est isomorpheà${\bf\it\bar A}：{\bf\it\bar A}\right tarrow{\bf\it\bar B}$。在En déduit上，Lorsque R est nœTérien，Que our Toute$\bf\it\bar R$-algèbre lisse$\bf\it\bar A$，il Existe un un R-algèbre faiblement comlète trète Trète${\bf\it A}^\dagger$telle que${\bf\it\bar R}^\dagger$est isomorpheà$\bf\it\bar A$。
Abstract. Let R be a commutative ring and let I be any ideal of R, put $ {\bf\it\bar R} : = {\bf\it R} / {\bf\it I} $. We prove that for any smooth $ \bf\it\bar R $-algebra $ \bf\it\bar A $ there exist a smooth R-algebra A such that $ \bf\it\bar A $ is isomorphic to
$ {\bf\it\bar R} \otimes_{\bf\it R} {\bf\it A} $. We also show that for any morphism of smooth $ \bf\it\bar R $-algebras $ {\it\bar a} : {\bf\it\bar A} \rightarrow {\bf\it\bar B} $, there exist a morphism of smooth R-algebras $ {\it a} : {\bf\it A} \rightarrow {\bf\it B} $ such that $ {\bf 1} \otimes {\it a} : {\bf\it\bar R} \otimes {\bf\it A} \rightarrow {\bf\it\bar R} \otimes {\bf\it B} $ is isomorphic to $ {\it\bar a} : {\bf\it\bar A} \rightarrow {\bf\it\bar B} $. As a corollary, when R is nœtherian, we show that for any smooth $ \bf\it\bar R $-algebra $ \bf\it\bar A $ there exist a very smooth weakly complete algebra $ {\bf\it A}^\dagger $ over R such that $ {\bf\it\bar R} \otimes {\bf\it A}^\dagger $ is isomorphic to $ \bf\it\bar A $.¶¶Résumé. Soient R un anneau commutatif et I un idéal de R, notons $ {\bf\it\bar R} : = {\bf\it R} / {\bf\it I} $. Nous prouvons que pour toute $ \bf\it\bar R $-algèbre lisse $ \bf\it\bar A $, il existe une R-algèbre lisse A telle que $ \bf\it\bar A $ est isomorphe à
$ {\bf\it\bar R} \otimes_{\bf\it R} {\bf\it A} $. Nous prouvons également que pour tout morphisme de $ \bf\it\bar R $-algèbres lisses $ {\it\bar a} : {\bf\it\bar A} \rightarrow {\bf\it\bar B} $, il existe un morphisme de R-algèbres lisses $ {\it a} : {\bf\it A} \rightarrow {\bf\it B} $ tel que $ {\bf 1} \otimes {\it a} : {\bf\it\bar R} \otimes {\bf\it A} \rightarrow {\bf\it\bar R} \otimes {\bf\it B} $ est isomorphe à$ {\it\bar a} : {\bf\it\bar A} \rightarrow {\bf\it\bar B} $. On en déduit, lorsque R est nœthérien, que pour toute $ \bf\it\bar R $-algèbre lisse $ \bf\it\bar A $, il existe une R-algèbre faiblement complète très lisse$ {\bf\it A}^\dagger $ telle que $ {\bf\it\bar R} \otimes {\bf\it A}^\dagger $ est isomorphe à$ \bf\it\bar A $.