Convex hulls of random walks, hyperplane arrangements, and Weyl chambers
Convex hulls of random walks, hyperplane arrangements, and Weyl chambers
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随机游走的凸包、超平面排列和 Weyl 室
DOI：
10.1007/s00039-017-0415-x
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发表时间：
2017
影响因子：
2.2
通讯作者：
Dmitry Zaporozhets
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Zakhar Kabluchko;Vladislav Vysotsky;Dmitry Zaporozhets
假设任意步随机游动的增量分布是中心对称的，且在仿射超平面上没有质量，我们给出了n步随机游动的凸壳不含原点的概率的显式公式。这推广了Sparre Andersen(skand Aktuarietdskr 32：27-36,1949)的公式，即在一维中这样的随机游动保持正的概率。我们的结果是无分布的，也就是说，概率不依赖于增量的分布。这个概率问题被证明是等价的两个几何问题之一：(1)求Bn型Weyl腔的个数与余维秒的一般线性子空间相交；(2)求Bn型Weyl腔的二次内蕴体积。我们用超平面排列理论解决了第一个几何问题。我们的方法的一个副产品是Klivans和Swartz(离散ComputGeom 46(3)：417-426,2011)关于线性超平面排列的特征多项式的系数与构成其互补的腔的二次固有体积之间关系的一般公式的一个新的简单证明。我们得到了关于Weyl腔的类似的无分布结果(得到了原点被一般随机游走桥的凸壳吸收的概率)、Dn型和Weyl腔的直积(得到了几个随机行走或桥梁的联合凸壳的吸收概率)。形式乘积的最简单情况恢复了文德尔公式(Math scand 11：109-111,1962)，即I.I.D.的凸包的概率。从中心对称分布中选取的多维样本不包含原点，并给出了在固定和增维两种情况下所得到的吸收概率AS的渐近分析。
We give an explicit formula for the probability that the convex hull of ann-step random walk indoes not contain the origin, under the assumption that the distribution of increments of the walk is centrally symmetric and puts no mass on affine hyperplanes. This extends the formula by Sparre Andersen (Skand Aktuarietidskr 32:27–36, 1949) for the probability that such random walk in dimension one stays positive. Our result is distribution-free, that is, the probability does not depend on the distribution of increments.This probabilistic problem is shown to be equivalent to either of the two geometric ones: (1) Find the number of Weyl chambers of typeBnintersected by a generic linear subspace ofof codimensiond; (2) Find the conic intrinsic volumes of a Weyl chamber of typeBn. We solve the first geometric problem using the theory of hyperplane arrangements. A by-product of our method is a new simple proof of the general formula by Klivans and Swartz (Discrete Comput Geom 46(3):417–426, 2011) relating the coefficients of the characteristic polynomial of a linear hyperplane arrangement to the conic intrinsic volumes of the chambers constituting its complement.We obtain analogous distribution-free results for Weyl chambers of type(yielding the probability of absorption of the origin by the convex hull of a generic random walk bridge), typeDn, and direct products of Weyl chambers (yielding the absorption probability for the joint convex hull of several random walks or bridges). The simplest case of products of the formrecovers the Wendel formula (Math Scand 11:109–111, 1962) for the probability that the convex hull of an i.i.d. multidimensional sample chosen from a centrally symmetric distribution does not contain the origin.We also give an asymptotic analysis of the obtained absorption probabilities as, in both cases of fixed and increasing dimensiond.
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