Ultrasparse Ultrasparsifiers and Faster Laplacian System Solvers
Ultrasparse Ultrasparsifiers and Faster Laplacian System Solvers
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超稀疏超稀疏器和更快的拉普拉斯系统求解器
DOI：
10.1137/1.9781611976465.33
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发表时间：
2021
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Sidford, Aaron
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Jambulapati, Arun;Sidford, Aaron
在本文中，我们提供了一个O（mloglogO（1）nlog（1/log））-期望时间算法来求解n-nodem-edge图上的Laplacian系统，改进了以前的最佳期望运行时间\（O（m \sqrt {\log n} \mathrm{log log}^{O（1）} n \log（1/\log））\）（Cohen，Kyng，米勒，Pacirki，Peng，Rao，Xu 2014）。为了获得这一结果，我们提供了有效的低谱拉伸图近似与改进的拉伸和稀疏边界的建设。作为这项工作的动机，我们证明了对于\（\mathbb {R}^d \）中的每一组向量（不仅仅是由图诱导的向量）和所有> 1的整数k，存在一个超稀疏子，其相对条件数的重加权向量为d − 1 +O（d/k），最多为k2。对于smallk，这改进了之前最好的乘法因子\（k \cdot \tilde{O}（\log d）\），它只在图的情况下才知道。此外，在图的情况下，我们使用我们的低拉伸子图构造来获得相对条件数k1 +o（1）fork=ω（logδn）的n − 1 +O（n/k）-边超parsifier，对于任何δ> 0：这改进了以前的工作fork=o（exp（log 1/2 −δn））。
In this paper we provide anO(mloglogO(1)nlog (1/ϵ))-expected time algorithm for solving Laplacian systems onn-nodem-edge graphs, improving upon the previous best expected runtime of \(O(m \sqrt {\log n} \mathrm{log log}^{O(1)} n \log (1/\epsilon)) \) achieved by (Cohen, Kyng, Miller, Pachocki, Peng, Rao, Xu 2014). To obtain this result we provide efficient constructions of low spectral stretch graph approximations with improved stretch and sparsity bounds. As motivation for this work, we show that for every set of vectors in \(\mathbb {R}^d \) (not just those induced by graphs) and all integerk> 1 there exist an ultra-sparsifier withd− 1 +O(d/k) re-weighted vectors of relative condition number at mostk2. For smallk, this improves upon the previous best known multiplicative factor of \(k \cdot \tilde{O}(\log d) \) , which is only known for the graph case. Additionally, in the graph case we employ our low-stretch subgraph construction to obtainn− 1 +O(n/k)-edge ultrasparsifiers of relative condition numberk1 +o(1)fork=ω(logδn) for anyδ> 0: this improves upon the previous work fork=o(exp (log1/2 −δn)).
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