On finite non-degenerate braided tensor categories with a Lagrangian subcategory
On finite non-degenerate braided tensor categories with a Lagrangian subcategory
复制标题
具有拉格朗日子范畴的有限非简并编织张量范畴
DOI：
10.1090/btran/78
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发表时间：
2017
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
D. Sebbag
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Shlomo Gelaki;D. Sebbag
<p>让<inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper W">
<mml:semantics>
<mml:mi>W</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">W</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>是有限维向量空间，<inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper C">
<mml:semantics>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {C}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>作为一个纯粹的奇超向量空间，并让<inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s upper R e p left-parenthesis upper W right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>W</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">sRep（W）</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>是有限超群的有限维超表示的有限对称张量范畴<inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper W">
<mml:semantics>
<mml:mi>W</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">W</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>.我们证明了有限非退化辫状张量范畴的等价类集<inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper C">
<mml:semantics>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">C</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>含有<inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s upper R e p left-parenthesis upper W right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>W</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">sRep（W）</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>作为拉格朗日子范畴是循环群上的torsor<inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper Z slash 16 double-struck upper Z">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo>/</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>16</mml:mn>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\martbb {Z}/16\martbb {Z}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>.特别是，我们得到，有<inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="8">
<mml:semantics>
<mml:mn>8</mml:mn>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">8</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>非等价辫张量范畴<inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper C">
<mml:semantics>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">C</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>它们是一体的，<inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="8">
<mml:semantics>
<mml:mn>8</mml:mn>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">8</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>它们是不完整的。</p>
<p>Let <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper W">
<mml:semantics>
<mml:mi>W</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">W</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> be a finite dimensional vector space over <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper C">
<mml:semantics>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {C}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> viewed as a purely odd supervector space, and let <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s upper R e p left-parenthesis upper W right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>s</mml:mi>
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>W</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">sRep(W)</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> be the finite symmetric tensor category of finite dimensional superrepresentations of the finite supergroup <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper W">
<mml:semantics>
<mml:mi>W</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">W</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>. We show that the set of equivalence classes of finite non-degenerate braided tensor categories <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper C">
<mml:semantics>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">C</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {C}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> containing <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s upper R e p left-parenthesis upper W right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>s</mml:mi>
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>W</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">sRep(W)</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> as a Lagrangian subcategory is a torsor over the cyclic group <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper Z slash 16 double-struck upper Z">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo>/</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>16</mml:mn>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {Z}/16\mathbb {Z}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>. In particular, we obtain that there are <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="8">
<mml:semantics>
<mml:mn>8</mml:mn>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">8</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> non-equivalent such braided tensor categories <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper C">
<mml:semantics>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">C</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {C}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> which are integral and <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="8">
<mml:semantics>
<mml:mn>8</mml:mn>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">8</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> which are non-integral.</p>