An Abstract Form of Maximum and Anti-maximum Principles of Hopf's Type
An Abstract Form of Maximum and Anti-maximum Principles of Hopf's Type
复制标题
Hopf型极大值与反极大值原理的抽象形式
DOI：
10.1006/jmaa.1996.0259
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发表时间：
1996
影响因子：
1.3
通讯作者：
P. Takáč
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
P. Takáč
在强序Banach空间X中考虑抽象线性椭圆边值问题Au −λu=−f≤0.设闭线性算子A：X→ X的预解式（λ I-A）-1对所有λ>λ1都是强正紧的，其中λ 1表示A的主本征值。我们证明存在一个常数δ≡δ（f）>0，取决于f ∈X+\{0}，使得对于所有λ∈（λ1-δ，λ1），−u=−（λ I-A）−1f∈X+成立。这里，X+={x∈X：x≥0}表示X中具有拓扑的正锥。我们还给出了A保证δ>0独立于f的几乎尖锐的充分条件，即，−（λ I-A）− 1对所有的Λ∈（λ1−δ，λ1）都是强正的。特别地，对于椭圆型Dirichlet边值问题，或严格合作系统，强极大值原理和边界点原理（λ>λ1）产生一个Hopf型反极大值原理（λ∈（λ1−δ，λ1）依赖于f）：若0≤f∈Lp（Ω），N R N，则u 0在<$Ω上，只要λ∈（λ1−δ，λ1）。
Abstract We consider an abstract linear elliptic boundary value problemAu−λu=−f≤0 in a strongly ordered Banach spaceX. The resolvent (λI−A)−1of the closed linear operatorA : X→Xis assumed to be strongly positive and compact for all λ>λ1, where λ1denotes the principal eigenvalue ofA. We prove that there exists a constant δ≡δ(f)>0 depending uponf∈X+\{0} such that −u=−(λI−A)−1f∈X+holds for all λ∈(λ1−δ, λ1). Here,X+={x∈X : x≥0} denotes the positive cone inXwith the topological interiorX+≠∅. We also present nearly sharp sufficient conditions forAguaranteeing independence of δ>0 fromf, i.e., −(λI−A)−1is strongly positive for all Λ∈(λ1−δ, λ1). In particular, for an elliptic Dirichlet boundary value problem, or for a strictly cooperative system of such problems, the strong maximum and boundary point principles (for λ>λ1) yield an anti-maximum principle of Hopf's type (for λ∈(λ1−δ, λ1) depending uponf): If 0≤f∈Lp(Ω), N R N, thenu 0 on ∂Ω whenever λ∈(λ1−δ, λ1).