On the algebraic independence of generic Painlevé transcendents
On the algebraic independence of generic Painlevé transcendents
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论泛型 Painlevé 超越数的代数独立性
DOI：
10.1112/s0010437x13007525
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发表时间：
2012
影响因子：
1.8
通讯作者：
A. Pillay
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Joel Nagloo;A. Pillay
本文证明了：如果$y“=f（y，y '，t，\alpha，\beta，\ldots）$是第II类、第IV类和第V类中的一般Painlevé方程，且$y_1，\ldots，y_n $是不同的解，则$\mathrm{tr.deg}（\mathbb{C}（t）（y_1，y'_1，\ldots，y_n，y '_n）/\mathbb{C}（t））=2n$. (This由Nishioka证明的单一方程$P_{{\rm I}}$。对于一般的Painlevé III和VI，我们有一个稍弱的结果：解空间的$\omega $-范畴性（在模型论的意义上），如下所述。结果证实了关于Painlevé超越的旧信念。
Abstract We prove that if $y''=f(y,y',t,\alpha ,\beta ,\ldots)$ is a generic Painlevé equation from among the classes II, IV and V, and if $y_1,\ldots,y_n$ are distinct solutions, then $\mathrm{tr.deg}(\mathbb{C}(t)(y_1,y'_1,\ldots,y_n,y'_n)/\mathbb{C}(t))=2n$. (This was proved by Nishioka for the single equation $P_{{\rm I}}$.) For generic Painlevé III and VI, we have a slightly weaker result: $\omega $-categoricity (in the sense of model theory) of the solution space, as described below. The results confirm old beliefs about the Painlevé transcendents.