Rates of mixing for potentials of summable variation
Rates of mixing for potentials of summable variation
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可求和变异势的混合率
DOI：
10.1090/s0002-9947-99-02382-x
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发表时间：
1999
影响因子：
1.3
通讯作者：
M. Pollicott
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
M. Pollicott
众所周知，对于与霍尔德势相关的有限类型子移和平衡测量，我们具有相关性的指数衰减。在本文中，我们推导出与更一般势相关的平衡状态的显式混合率。 0. 引言 在本文中，我们将考虑关于可求和变分势的平衡状态的有限类型子移的混合率。令 σ : XA → XA 表示有限类型的传递两侧子移位，并令 g : XA → R 为可求和变分的函数。因此，g 存在唯一的平衡状态 μ [7]。假设 f : XA → R 是 Hölder，那么我们将研究相关函数 ρ(N) := ∫ f ◦ σ .fdμ− (∫ fdμ )2 的 N → +∞ 行为。众所周知的结果是，如果第 n 个变化 varn(g) 以指数方式快速趋于零，则 ρ(N) 以指数方式快速趋于零 [1]（即，如果存在 0 < β < 1 且 C > 0 使得 varn(g) ≤ Cβ, n ≥ 0，则存在 0 < θ < 1 且 D > 0 使得 |ρ(N)| ≤ Dθ , N ≥ 0）。在本文中，我们将考虑当 varn(g) 以次指数速率趋于零时 ρ(N) 趋于零的速率。为了帮助我们的阐述，我们将集中讨论一些特殊案例。我们的第一个主要结果如下。定理 1. 设 σ : XA → XA 表示有限类型的传递两侧子移。 (1) 多项式衰减：如果 ∃r > 2, ∃C > 0 使得 varn(g) ≤ C ( 1 nr ) ，则 |ρ(N)| = O ( 1 Nr−2− ) 对于任何 > 0。 (2) 中间衰减：如果 ∃0 < β < 1, ∃C > 0, ∃γ > 1 使得 varn(g) ≤ C(β n) γ )，则 ∃D > 0, ∃0 < θ < 1 使得 |ρ(N)| = D ( θ N) γ− ) 对于任何 > 0。 (3) 拉伸指数衰减：如果 ∃0 < θ < 1，∃C > 0 使得 varn(g) ≤ C(θ 1/2 )，则 ∃D > 0，∃0 < β < 1 使得 |ρ(N)| = D ( β 1/3 ) 对于任何 > 0。编辑于 1997 年 9 月 22 日收到。1991 年数学学科分类。主要 58Fxx。 c ©1999 美国数学会
It is well known that for subshifts of finite type and equilibrium measures associated to Hölder potentials we have exponential decay of correlations. In this article we derive explicit rates of mixing for equilibrium states associated to more general potentials. 0. Introduction In this paper we shall consider the rate of mixing of subshifts of finite type with respect to equilibrium states for potentials of summable variation. Let σ : XA → XA denote a transitive two-sided subshift of finite type and let g : XA → R be a function of summable variation. Thus there exists a unique equilibrium state μ for g [7]. Assume that f : XA → R is Hölder, then we will study the behaviour as N → +∞ of the correlation function ρ(N) := ∫ f ◦ σ .fdμ− (∫ fdμ )2 . It is a well known result that if the nth variation varn(g) tends to zero exponentially fast, then ρ(N) tends to zero exponentially fast [1] (i.e., if there exists 0 < β < 1 and C > 0 such that varn(g) ≤ Cβ, n ≥ 0, then there exists 0 < θ < 1 and D > 0 such that |ρ(N)| ≤ Dθ , N ≥ 0). In this paper we shall consider the rate at which ρ(N) tends to zero when varn(g) tends to zero at a sub-exponential rate. To help our exposition we shall concentrate on a number of particular cases. Our first main result is the following. Theorem 1. Let σ : XA → XA denote a transitive two-sided subshift of finite type. (1) Polynomially decay: If ∃r > 2, ∃C > 0 such that varn(g) ≤ C ( 1 nr ) , then |ρ(N)| = O ( 1 Nr−2− ) for any > 0. (2) Intermediate decay: If ∃0 < β < 1, ∃C > 0, ∃γ > 1 such that varn(g) ≤ C(β n) γ ), then ∃D > 0, ∃0 < θ < 1 such that |ρ(N)| = D ( θ N) γ− ) for any > 0. (3) Stretched exponential decay: If ∃0 < θ < 1, ∃C > 0 such that varn(g) ≤ C(θ 1/2 ), then ∃D > 0, ∃0 < β < 1 such that |ρ(N)| = D ( β 1/3 ) for any > 0. Received by the editors September 22, 1997. 1991 Mathematics Subject Classification. Primary 58Fxx. c ©1999 American Mathematical Society