Representation stability in the level 4 braid group
Representation stability in the level 4 braid group
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4 级编织组中的表示稳定性
DOI：
10.1007/s00209-022-03059-8
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发表时间：
2022
影响因子：
0.8
通讯作者：
Margalit, Dan
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Kordek, Kevin;Margalit, Dan
我们研究了辫群的第4层子群的上同调性，即在的brau表示的mod 4约简的核。这个群也等于纯辫群的模2阿贝尔化的核。我们给出了第一个贝蒂数的精确公式；它是链数的四次多项式。我们还证明，与纯辫群一样，第一同调在Church和Farb意义上满足一致表示稳定性。与纯辫群不同，对称群——辫群与4级子群之商——是表征理论尚未得到很好研究的一类群；我们发展了表征理论。这个群是对称群的非分裂扩展。作为我们的主要结果的应用，我们证明了当链数至少为15时，在1阶上不产生4级编织群的有理上同环，并且当链数最多为4时，我们计算了4级编织群的所有Betti数。我们还得到了超椭圆Torelli群的第一个有理数的下界和属2中的第4层映射类群的上有理数的下界。最后，我们应用我们的结果定位了纯编织群特征变异上的所有2-扭转点。
We investigate the cohomology of the level 4 subgroup of the braid group, namely, the kernel of the mod 4 reduction of the Burau representation at. This group is also equal to the kernel of the mod 2 abelianization of the pure braid group. We give an exact formula for the first Betti number; it is a quartic polynomial in the number of strands. We also show that, like the pure braid group, the first homology satisfies uniform representation stability in the sense of Church and Farb. Unlike the pure braid group, the group of symmetries—the quotient of the braid group by the level 4 subgroup—is one for which the representation theory has not been well studied; we develop its representation theory. This group is a non-split extension of the symmetric group. As applications of our main results, we show that the rational cohomology ring of the level 4 braid group is not generated in degree 1 when the number of strands is at least 15, and we compute all Betti numbers of the level 4 braid group when the number of strands is at most 4. We also derive a new lower bound on the first rational Betti number of the hyperelliptic Torelli group and on the top rational Betti number of the level 4 mapping class group in genus 2. Finally, we apply our results to locate all of the 2-torsion points on the characteristic varieties of the pure braid group.
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