When a zero-divisor graph is planar or a complete r-partite graph
When a zero-divisor graph is planar or a complete r-partite graph
复制标题
DOI：
10.1016/s0021-8693(03)00370-3
复制
发表时间：
2003-12
影响因子：
0.9
通讯作者：
S. Akbari;H. Maimani;S. Yassemi
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
S. Akbari;H. Maimani;S. Yassemi
令 Г(R) 为交换环 R 的零除数图。Anderson、Frazier、Lauve 和 Livingston 提出了一个有趣的问题：对于哪些有限交换环 R 是 Г(R) 平面的？对于这个问题我们给出答案。更准确地说，我们证明如果 R 是至少有 33 个元素的局部环，并且 Г(R)≠∅，则 Г(R) 不是平面的。我们使用相关素数的集合来找到 Γ(R) 中循环的最小长度。此外，我们确定零因数图是完全 r 分图的环，并表明对于任何环 R 和素数 p, p⩾3，如果 Γ(R) 是有限完全 p 分图，则 |Z(R)|=p2、|R|=p3，并且 R 与环 Zp3、Zp[x,y] (xy,y2−x) 、 Zp2[y] 之一同构(py,y2−ps) ，其中 1⩽s<p。
Let Γ(R) be the zero-divisor graph of a commutative ring R. An interesting question was proposed by Anderson, Frazier, Lauve, and Livingston: For which finite commutative rings R is Γ(R) planar? We give an answer to this question. More precisely, we prove that if R is a local ring with at least 33 elements, and Γ(R)≠∅, then Γ(R) is not planar. We use the set of the associated primes to find the minimal length of a cycle in Γ(R). Also, we determine the rings whose zero-divisor graphs are complete r-partite graphs and show that for any ring R and prime number p, p⩾3, if Γ(R) is a finite complete p-partite graph, then |Z(R)|=p2, |R|=p3, and R is isomorphic to exactly one of the rings Zp3, Zp[x,y] (xy,y2−x) , Zp2[y] (py,y2−ps) , where 1⩽s<p.