Real Polynomials with All Roots on the Unit Circle and Abelian Varieties over Finite Fields
Real Polynomials with All Roots on the Unit Circle and Abelian Varieties over Finite Fields
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所有根在单位圆上的实多项式和有限域上的阿贝尔簇
DOI：
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发表时间：
1998
影响因子：
0.7
通讯作者：
Everett W. Howe
中科院分区：
文献类型：
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作者：
S. A. DiPippo;Everett W. Howe
摘要 本文通过研究根均位于单位圆上的2 n 次一调实多项式的集合，证明了有限域上阿贝尔簇的几个定理。特别地，我们考虑 R n 中的向量集 V n ，它们给出此类多项式的系数。我们计算 V n 的体积，并找到 V n 的一个易于描述的大子集。利用这些结果，我们找到了一个渐近公式（具有明确的误差项），用于表示 F q 上 n 维阿贝尔簇的同源类数量。我们还证明，如果 n >1，则 F q 上 n 维交换簇的群阶集合包含以 q n +1 为中心、长度大致为 q n −(1/2) 的区间中的每个整数。我们对 V n 体积的计算涉及对单纯形 {( x 1 , …, x n ) | 上的积分的评估 n × n 矩阵 [ x e i −1 j 的行列式 0⩽ x 1 ⩽…⩽ x n ⩽1}，其中 e i 是正实数。
Abstract In this paper we prove several theorems about abelian varieties over finite fields by studying the set of monic real polynomials of degree 2 n all of whose roots lie on the unit circle. In particular, we consider a set V n of vectors in R n that give the coefficients of such polynomials. We calculate the volume of V n and we find a large easily-described subset of V n . Using these results, we find an asymptotic formula—with explicit error terms—for the number of isogeny classes of n -dimensional abelian varieties over F q . We also show that if n >1, the set of group orders of n -dimensional abelian varieties over F q contains every integer in an interval of length roughly q n −(1/2) centered at q n +1 . Our calculation of the volume of V n involves the evaluation of the integral over the simplex {( x 1 , …, x n ) | 0⩽ x 1 ⩽…⩽ x n ⩽1} of the determinant of the n × n matrix [ x e i −1 j , where the e i are positive real numbers.