A non-standard representation for Brownian Motion and Itô integration
A non-standard representation for Brownian Motion and Itô integration
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布朗运动和 Itô 积分的非标准表示
DOI：
10.1090/s0002-9904-1976-13976-6
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发表时间：
1976
影响因子：
1
通讯作者：
R. Anderson
中科院分区：
文献类型：
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作者：
R. Anderson
在最近的一篇论文[10]中，Peter A.Loeb展示了如何将非标准度量空间转换为标准度量空间，并给出了概率论的应用。我们将这些结果应用于布朗运动及其积分。我们首先开发了一些关于Loeb空间的新工具。然后，我们证明了布朗运动可以作为Loeb过程得到，该Loeb过程对应于从*-有限次掷硬币获得的非标准随机游动。这使得对Donsker定理的一个特殊情况有了非常有建设性的证明。关于这个布朗运动的积分是关于随机游动的非标准Stieltjes积分。因此，S引理的一个简单证明是可能的。本文的结果已在文献[1]中公布。
In a recent paper [10], Peter A. Loeb showed how to convert non-standard measure spaces into standard ones and gave applications to probability theory. We apply these results to Brownian Motion and Itô integration. We first develop a number of new tools about Loeb spaces. We then show that Brownian Motion can be obtained as the Loeb process corresponding to a non-standard random walk obtained from a*-finite number of coin tosses. This permits a very constructive proof of a special case of Donsker's Theorem. The Itô integral with respect to this Brownian Motion is a non-standard Stieltjes integral with respect to the random walk. As a consequence, an easy proof of Itô’s Lemma is possible. The results in this paper were announced in [1].