Über die Komposition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen
Über die Komposition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen
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DOI：
10.1007/978-3-0348-4160-3_39
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发表时间：
1963
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
A. Hurwitz
中科院分区：
文献类型：
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作者：
A. Hurwitz
[3] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [1] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [3] $$ \varphi \left( {{x_{1}},{x_{2}}, \ldots {x_{n}}} \right)\psi \left( {{y_{1}},{y_{2}}, \ldots {y_{n}}} \right) = \chi \left( {{z_{1}},{z_{2}}, \ldots {x_{n}}} \right) $$ 1,z2，…zndurch geeignet gewählte bilineare Funktionen der variable x1,x2，…xnundy1,y2，…ynersetzt。(1)在线性曲线上的线性变换：线性曲线在线性曲线上的变换：线性曲线在线性曲线上的变换：线性曲线在线性曲线上的变换： $$ \left( {x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \ldots + x_{n}^{2}} \right)\left( {y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + \ldots + y_{n}^{2}} \right) = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + \ldots + z_{n}^{2}$$ 背叛。分级法（Hiernach ist die Frage），分级法（ir），二阶法（ir），二元法（ir），二元法（ir），二元法（ir），二元法（ir），二元法（ir）znder 2nunabhängigen变量x1，x2，…xn,y1,y2，…yngenkann。In den folgenden Zeilen将ich zeigen， dass dieses nur In den Fällenn= 2,4,8 möglich ist, dass also nur f<e:1> r binäre Formen, f<e:1> r quaternäre Formen和f<e:1> r Formen mit 8变量组成理论存在。
Im Gebiete der quadratischen Formen vonnVariablen wird eine Kompositionstheorie stattfinden, wenn für irgend drei quadratische Formenφ, ψ, χvon nicht verschwindender Determinante die Gleichung $$ \varphi \left( {{x_{1}},{x_{2}}, \ldots {x_{n}}} \right)\psi \left( {{y_{1}},{y_{2}}, \ldots {y_{n}}} \right) = \chi \left( {{z_{1}},{z_{2}}, \ldots {x_{n}}} \right) $$ dadurch befriedigt werden kann, dass man die Variablenz1,z2,...zndurch geeignet gewählte bilineare Funktionen der Variablenx1,x2,...xnundy1,y2,...ynersetzt. Da eine quadratische Form durch lineare Transformation der Variablen in eine Summe von Quadraten übergeführt werden kann, so darf man, ohne die Allgemeinheit zu beeinträchtigen, an Stelle der Gleichung (1) die folgende: $$ \left( {x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \ldots + x_{n}^{2}} \right)\left( {y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + \ldots + y_{n}^{2}} \right) = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + \ldots + z_{n}^{2}$$ betrachten. Hiernach ist die Frage, ob für quadratische Formen mitnVariablen eine Kompositionstheorie existiert, im wesentlichen identisch mit der andern, ob man der Gleichung (2) durch geeignete bilineare Funktionenz1,z2,...znder 2nunabhängigen Variablenx1,x2,...xn,y1,y2,...yngenügen kann. In den folgenden Zeilen will ich zeigen, dass dieses nur in den Fällenn= 2, 4, 8 möglich ist, dass also nur für binäre Formen, für quaternäre Formen und für Formen mit 8 Variablen eine Kompositionstheorie existiert.