Singmaster’s Conjecture In The Interior Of Pascal’s Triangle
Singmaster’s Conjecture In The Interior Of Pascal’s Triangle
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帕斯卡三角形内部的辛马斯特猜想
DOI：
10.1093/qmath/haac006
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发表时间：
2022
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
Teräväinen, Joni
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Matomäki, Kaisa;Radziwiłł, Maksym;Shao, Xuancheng;Tao, Terence;Teräväinen, Joni
辛马斯特猜想断言，每个大于1的自然数在帕斯卡三角形中至多出现有界次数;也就是说，对于任何自然数，自然数方程的解的个数是有界的。在本文中，我们在内部区域$\exp（\log^{2/3+\vareps} n）\leq m \leq n - \exp（\log^{2/3+\vareps} n）$中建立了这个结果，对于任何固定的n> 0。事实上，当它足够大，取决于λ，我们表明，有最多四个解决方案（或最多两个在任何一半的帕斯卡三角形）在这个地区。我们还建立了方程的类似结果，其中表示下降阶乘。
Singmaster’s conjecture asserts that every natural number greater than one occurs at most a bounded number of times in Pascal’s triangle; that is, for any natural number, the number of solutions to the equationfor natural numbersis bounded. In this paper we establish this result in the interior region $\exp(\log^{2/3+\varepsilon} n) \leq m \leq n - \exp(\log^{2/3+\varepsilon} n)$ for any fixedɛ> 0. Indeed, whentis sufficiently large depending onɛ, we show that there are at most four solutions (or at most two in either half of Pascal’s triangle) in this region. We also establish analogous results for the equation, wheredenotes the falling factorial.