An asymptotic formula of Gelfand and Gangolli for the spectrum of $G\backslash G$
An asymptotic formula of Gelfand and Gangolli for the spectrum of $G\backslash G$
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$G反斜杠 G$ 谱的 Gelfand 和 Gangolli 渐近公式
DOI：
10.4310/jdg/1214433299
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发表时间：
1976
影响因子：
2.5
通讯作者：
N. Wallach
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
N. Wallach
在[6]中，Gelfand 概述了 U(Γ\G) 中球主级数重数分布的渐近公式的证明，其中 G 是具有有限中心的连通半单李群，而 Г 是 G 的离散子群，因此 Г\G 是紧的（该公式的表述参见推论 1.3）。正如 Gangolli [3] 所指出的，Gelfand 的公式略有错误，并且该公式的证明（即使在 G = SL(2, R) 的情况下）也存在差距。 Gangolli [3] 中使用热方程的方法来证明 G 复半简单的（修正的）Gelfand 公式。 Gangolli 和 Warner 在一份尚未发表的手稿中还证明了 Gelfand 公式，如果 Γ 没有有限阶的非中心元素。在本文中，我们使用热方程基本解的渐近展开来证明我们现在描述的一般渐近公式。令G和Г如上。令 K 为 G 的最大连通紧子群。令 G（分别为 K）表示 G（分别为 K）的不可约酉表示的等价类集合。如果 τ e K，则令 dτ 为 τ 类任意元素的维数。如果 ω e G 和 τ € K，则让 [τ: ω\κ] 表示 ω 中 τ 的重数，将其视为 K 的不可约表示的直接和（即 ω = Σ[τ: ω\κ]τ）。如果 ω e G，则令 λω 为 G 在类 ω 的任意元素上的卡西米尔算子的值。设 Z(G) 为 G 的中心，并设 Z(Г) — Z(G) Π Г。令 KГ 为由 τ 组成的 K 的子集，使得 Z(Г) 对 τ 类的任何元素都起作用。令 Π Г 表示 G 在 U(Г\G) 上的右正则表示。那么 ΠГ = Σ ω 6 £ nГ(ω)ω, nГ(ω) € Z, nГ{ω) > 0。我们的主要结果是定理 1.1。存在一个仅取决于 G 的常量 CG，因此如果 τ e KΓ 且 [Z(Γ)] 是 Z(Γ) 中的元素数量，则
In [6], Gelfand outlined a proof of an asymptotic formula for the distribution of multiplicities of spherical principal series in U(Γ\G), where G is a connected semi-simple Lie group with finite center and Γ is a discrete subgroup of G so that Γ\G is compact (see Corollary 1.3 for a formulation of this formula). As pointed out by Gangolli [3] the formula of Gelfand is marginally wrong and the proof of the formula (even in the case G = SL(2, R)) has a gap. In Gangolli [3] a method using the heat equation was used to prove the (corrected) Gelfand formula for G complex semi-simple. Also Gangolli and Warner have in an as yet unpublished manuscript proved the Gelfand formula if Γ has no noncentral elements of finite order. In this paper we use the asymptotic expansion of the fundamental solution of the heat equation to prove a general asymptotic formula which we now describe. Let G and Γ be as above. Let K be a maximal connected compact subgroup of G. Let G (resp. K) denote the set of equivalence classes of irreducible unitary representations of G (resp. K). If τ e K, let dτ be the dimension of any element of the class τ. If ω e G, and τ € K, then let [τ: ω\κ] denote the multiplicity of τ in ω looked at as a direct sum of irreducible representations of K (i.e., ω = Σ[τ: ω\κ]τ). If ω e G, let λω be the value of the Casimir operator of G on any element of the class ω. Let Z(G) be the center of G and let Z(Γ) — Z(G) Π Γ. Let KΓ be the subset of K consisting of those τ such that Z{Γ) acts trivially on any element of the class τ. Let Π Γ denote the right regular representation of G on U(Γ\G). Then ΠΓ = Σ ω 6 £ nΓ(ω)ω, nΓ(ω) € Z, nΓ{ω) > 0. Our main result is Theorem 1.1. There is a constant CG depending only on G so that if τ e KΓ and if [Z(Γ)] is the number of elements in Z(Γ), then