On Orbit Closures of Symmetric Subgroups in Flag Varieties
On Orbit Closures of Symmetric Subgroups in Flag Varieties
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关于旗品种对称子群的轨道闭合
DOI：
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发表时间：
2000
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
A. Helminck
中科院分区：
文献类型：
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作者：
M. Brion;A. Helminck
研究了$G/P$中的$K$ -轨道，其中$G$是一个复连通约化群，$P,subseteq，G$是一个抛物子群，$K,subseteq，G$是一个对合自同构$ heta$的不动点子群。推广施普林格的工作，参数化（有限）轨道集$K，ackslash,G/P$，确定各向同性群。因此，我们描述了封闭的响应。仿射的)轨道，用稳定的（相对而言）表示。$ heta$ -split)抛物子群我们还描述了$G$中任意$(K,，P)$ -双余集分解为$(K,，B)$ -双余集，其中$B,subseteq，P$是Borel子群。最后，对于某些$K$ -轨道闭包$X,subseteq,G/B$，以及$G/B$上具有非零全局截面的任意齐次线束$mathcal{L}$，证明了约束映射$ ext{re}{{ext{s}}_{X}},:,{{H}^{0}}，左（G,/，B,，mathcal{L}右）$,0,{{H}^{0}}，左（X,，mathcal{L}右）$是满射，${H}^{i}}，左（X，mathcal{L}右），=,0$对于$i,ge,1$。此外，我们描述了$K$ -模块${{H}^{0}}left(X,L ight)$。这里给出了简单的$G$ -module ${{H}^{0}},left(G,/，B,mathcal{L} right)$对$K$的限制信息。我们的构造是Vogan和Sepanski对极值K类型方法的几何模拟。
Abstract We study $K$ -orbits in $G/P$ where $G$ is a complex connected reductive group, $P,subseteq ,G$ is a parabolic subgroup, and $K,subseteq ,G$ is the fixed point subgroup of an involutive automorphism $ heta$ . Generalizing work of Springer, we parametrize the (finite) orbit set $K,ackslash ,G/P$ and we determine the isotropy groups. As a consequence, we describe the closed (resp. affine) orbits in terms of $ heta$ -stable (resp. $ heta$ -split) parabolic subgroups. We also describe the decomposition of any $(K,,P)$ -double coset in $G$ into $(K,,B)$ -double cosets, where $B,subseteq ,P$ is a Borel subgroup. Finally, for certain $K$ -orbit closures $X,subseteq ,G/B$ , and for any homogeneous line bundle $mathcal{L}$ on $G/B$ having nonzero global sections, we show that the restriction map $ ext{re}{{ ext{s}}_{X}},:,{{H}^{0}},left( G,/,B,,mathcal{L}
ight), o ,{{H}^{0}},left( X,,mathcal{L}
ight)$ is surjective and that ${{H}^{i}},left( X,mathcal{L}
ight),=,0$ for $i,ge ,1$ . Moreover, we describe the $K$ -module ${{H}^{0}}left( X,L
ight)$ . This gives information on the restriction to $K$ of the simple $G$ -module ${{H}^{0}},left( G,/,B,mathcal{L}
ight)$ . Our construction is a geometric analogue of Vogan and Sepanski’s approach to extremal $K$ -types.