On the Classification of K3-Surfaces with Nine Cusps
On the Classification of K3-Surfaces with Nine Cusps
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关于九尖点K3面的分类
DOI：
10.1515/9783110806090-003
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发表时间：
1998
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
W. Barth
中科院分区：
文献类型：
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作者：
W. Barth
具有九个尖点的 K3 表面是指具有九个独立双点 $A_2$ 的紧凑复杂表面，但其他方面是光滑的，因此其最小去奇异化是 K3 表面。在之前的一篇论文中，我证明了每个这样的表面都是一个复环面除以一个三阶循环群的商。在这里，我尝试使用复杂环面的周期图对这些 $K3$-表面进行分类。我特别展示：
具有九个尖点的 $K3$ 表面仅具有 0 或 2 模 6 度的偏振。这特别意味着在具有九个尖点的射影三空间中不存在四次曲面。 （T. Urabe 向我指出了如何从 Nikulin 定理中推导出这一点。）
在附录中，我给出了具有八个尖点的三空间中四次曲面的显式方程。
By a K3-surface with nine cusps I mean a compact complex surface with nine isolated double points $A_2$, but otherwise smooth, such that its minimal desingularisation is a K3-surface. In an earlier paper I showd that each such surface is a quotient of a complex torus by a cyclic group of order three. Here I try to classify these $K3$-surfaces, using the period map for complex tori. In particular I show:
A $K3$-surface with nine cusps carries polarizations only of degrees 0 or 2 modulo 6. This implies in particular that there is no quartic surface in projective three-space with nine cusps. (T. Urabe pointed out to me how to deduce this from a theorem of Nikulin.)
In an appendix I give explicit equations of quartic surfaces in three-space with eight cusps.