Some Definability Results in Abstract Kummer Theory
Some Definability Results in Abstract Kummer Theory
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抽象库默尔理论中的一些可定义性结果
DOI：
10.1093/imrn/rnt057
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发表时间：
2011
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
M. Hils
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Martin Bays;M. Gavrilovich;M. Hils
令 $S$ 为代数闭域上的半阿贝尔簇，并令 $X$ 为不包含在 $S$ 真代数子群的陪集中的不可约子簇。我们证明 $[n]^{-1}(X)$ 的不可约分量的数量在 $n$ 中均匀有界，而且在族 $X_t$ 中该界限是均匀的。
我们通过纯粹的伽罗瓦理论方法证明了这一点。该证明适用于有限莫利秩的可分阿贝尔群的更一般背景。在后一种情况下，我们在可定义多重性属性（DMP）的假设下推导出可定义性结果。我们给出了有限 Morley 秩组具有 DMP 的充分条件，因此给出了我们的可定义性结果成立的例子。
Let $S$ be a semiabelian variety over an algebraically closed field, and let $X$ be an irreducible subvariety not contained in a coset of a proper algebraic subgroup of $S$. We show that the number of irreducible components of $[n]^{-1}(X)$ is bounded uniformly in $n$, and moreover that the bound is uniform in families $X_t$.
We prove this by purely Galois-theoretic methods. This proof applies in the more general context of divisible abelian groups of finite Morley rank. In this latter context, we deduce a definability result under the assumption of the Definable Multiplicity Property (DMP). We give sufficient conditions for finite Morley rank groups to have the DMP, and hence give examples where our definability result holds.