Quartic surfaces of elliptic ruled type
Quartic surfaces of elliptic ruled type
复制标题
椭圆直纹型四次曲面
DOI：
10.1090/s0002-9947-1984-0735411-3
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发表时间：
1984
影响因子：
1.3
通讯作者：
Yumiko Umezu
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Yumiko Umezu
设 Abe 为标准四次曲面，其分辨率在双理上等同于椭圆直纹曲面。我们对 X 上的奇点进行分类，然后描述 X 的全局结构。0.简介。众所周知 [3]，P3 中的正规四次曲面在特征 ¥= 2,3 的代数闭域 k 上的最小分辨率是 (i) K3 曲面，(ii) 有理曲面，(iii) 双有理等价于椭圆直纹曲面，或 (iv) 属 3 的直纹曲面。我们将研究类型 (iii) 的正规四次曲面的结构。在下文中，我们将这种曲面简称为椭圆直纹型四次曲面。设 X 为椭圆直纹型四次曲面，并令 tt: X -» X 表示 X 的最小分辨率。我们将通过 X 的结构和 X 上定义态射 tt 的线性系统来研究 X。由于 A" 的对偶束 ux 是微不足道的，我们可以应用 [3] 中的结果。这里我们重申其中一些结果（限制于我们目前的情况），这些结果将在整个研究中发挥重要作用。我们使用 [3] §1 中引用的术语和事实，恕不另行通知。引理 1。对于 X 上的任何点 P，P 的几何亏格 pg(P) 不大于 2。由于 wx = Ox，存在唯一有效的反规范X 上的除数，其连通分量对应于 X 上 pg > 1 的奇异点。我们用 D.M»M„-i Ml — 引理 2 表示该除数。令 X = Xn -» Xn_x -» • • ■ -» X0 = X 是获得 X 的相对最小模型 X 的一系列分解，并令 77 是 X 到 X 的一般超平面部分的回拉，使得 H 是不可约且非奇异的。将 Hn = H, Ht = pl+lopl+2o ... opn(H„) (0 < j < n — 1), 77=770, D„ = D, J>, = j»/+Io/»/+2o ••• °Mn(A,) (0</<»-l), D = D0。然后我们有： (i) D,E\-KK.|(0 </<«); 编辑收到 11 月1982 年 24 日，修订版为 1983 年 3 月 4 日。1980 年数学科目分类。小学 14E15；中学 14J17。
Let Abe a normal quartic surface whose resolutions are birationally equivalent to elliptic ruled surfaces. We classify the singularities on X and then describe the global structure of X. 0. Introduction. It is known [3] that the minimal resolution of a normal quartic surface in P3 over an algebraically closed field k of characteristic ¥= 2,3 is either (i) a K3 surface, (ii) a rational surface, (iii) birationally equivalent to an elliptic ruled surface, or (iv) a ruled surface of genus 3. We shall investigate the structure of normal quartic surfaces of type (iii). In the sequel we call such a surface simply a quartic surface of elliptic ruled type. Let X be a quartic surface of elliptic ruled type and let tt: X -» X denote the minimal resolution of X. We shall study X via the structure of X and a linear system on X which defines the morphism tt. Since the dualizing sheaf ux of A" is trivial, we can apply the results in [3]. Here we restate some of them (restricting to our present situation) which will play essential roles throughout this research. We use the terms and facts cited in §1 of [3] without notice. Lemma 1. For any point P on X, the geometric genus pg(P) of P is not greater than 2. Since wx = Ox, there exists a unique effective anticanonical divisor on X whose connected components correspond by it to singular points with pg > 1 on X. We denote this divisor by D. M» M„-i Ml — Lemma 2. Let X = Xn -» Xn_x -» • • ■ -» X0 = X be a sequence of blow-downs obtaining a relatively minimal model X of X, and let 77 be the pull-back of a general hyperplane section of X to X such that H is irreducible and nonsingular. Put Hn = H, Ht = pl+lopl+2o ... opn(H„) (0 < j < n — 1), 77=770, D„ = D, J>, = j»/+Io/»/+2o ••• °Mn(A,) (0</<»-l), D = D0. Then we have: (i) D,E\-KK.|(0 </<«); Received by the editors November 24, 1982 and, in revised form, March 4, 1983. 1980 Mathematics Subject Classification. Primary 14E15; Secondary 14J17.