Axioms of adaptivity.
Axioms of adaptivity.
复制标题
DOI：
10.1016/j.camwa.2013.12.003
复制
发表时间：
2014-04
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Praetorius D
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Carstensen C;Feischl M;Page M;Praetorius D
本文首先给出了自适应有限元最优收敛速度证明的同时公理，然后讨论了一些特殊问题的改进，如避免(离散的)下界、不精确的求解器、非齐次的边界数据或使用等价的误差估计。仅有四个公理就保证了误差估计器的最优性。与现有文献相比，本文的改进可以概括为以下几点：首先，给出了一个涵盖现有文献关于自适应方案最优性的一般框架。抽象分析既包括线性问题，也包括非线性问题，并且独立于基本的有限元或边界元方法。其次，误差估计器的效率既不需要证明误差估计器的收敛，也不需要证明误差估计器的准最优收敛行为。在本文中，效率唯一地用最佳逼近误差和数据分辨率来表征所涉及的近似类，因此最优标记参数的上界不依赖于效率常数。第三，一些一般的拟Galerkin正交性不仅是充分的，而且是误差估计的非线性收敛所必需的，这是目前由Stevenson 2007所作的拟最优性分析中的一个基本成分。最后，一般分析允许等价的误差估计器和不精确的求解器，以及不同的非齐次和混合边界条件。
This paper aims first at a simultaneous axiomatic presentation of the proof of optimal convergence rates for adaptive finite element methods and second at some refinements of particular questions like the avoidance of (discrete) lower bounds, inexact solvers, inhomogeneous boundary data, or the use of equivalent error estimators. Solely four axioms guarantee the optimality in terms of the error estimators. Compared to the state of the art in the temporary literature, the improvements of this article can be summarized as follows: First, a general framework is presented which covers the existing literature on optimality of adaptive schemes. The abstract analysis covers linear as well as nonlinear problems and is independent of the underlying finite element or boundary element method. Second, efficiency of the error estimator is neither needed to prove convergence nor quasi-optimal convergence behavior of the error estimator. In this paper, efficiency exclusively characterizes the approximation classes involved in terms of the best-approximation error and data resolution and so the upper bound on the optimal marking parameters does not depend on the efficiency constant. Third, some general quasi-Galerkin orthogonality is not only sufficient, but also necessary for the -linear convergence of the error estimator, which is a fundamental ingredient in the current quasi-optimality analysis due to Stevenson 2007. Finally, the general analysis allows for equivalent error estimators and inexact solvers as well as different non-homogeneous and mixed boundary conditions.
登录
查看更多内容
DOI：
10.1051/m2an/2013069
发表时间：
2013-07-01
期刊：
ESAIM-MATHEMATICAL MODELLING AND NUMERICAL ANALYSIS-MODELISATION MATHEMATIQUE ET ANALYSE NUMERIQUE
影响因子：
--
作者：
Aurada, M.;Feischl, M.;Praetorius, D.
通讯作者：
Praetorius, D.
影响因子：
2
作者：
BABUSKA, I;RHEINBOLDT, WC
通讯作者：
RHEINBOLDT, WC
影响因子：
2.1
作者：
BABUSKA, I;VOGELIUS, M
通讯作者：
VOGELIUS, M
影响因子：
2.9
作者：
Bonito, Andrea;Nochetto, Ricardo H.
通讯作者：
Nochetto, Ricardo H.
影响因子：
1.7
作者：
Carstensen, C;Bartels, S;Klose, R
通讯作者：
Klose, R