A Model Problem for Nematic-Isotropic Transitions with Highly Disparate Elastic Constants
A Model Problem for Nematic-Isotropic Transitions with Highly Disparate Elastic Constants
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具有高度不同弹性常数的向列相各向同性转变的模型问题
DOI：
10.1007/s00205-020-01501-x
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发表时间：
2020
影响因子：
2.5
通讯作者：
Venkatraman, Raghavendra
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Golovaty, Dmitry;Novack, Michael;Sternberg, Peter;Venkatraman, Raghavendra
继续Golovaty等人发起的计划（SIAM J Math Anal 51（1）：276-320，2018），我们分析了一个基于高度不同弹性常数的模型问题，我们提出了这个模型问题，以了解在液晶中的非晶相和各向同性相之间的边界上形成的拐角和尖点。对于有界平面区域，我们研究了变分问题$$\开始{aligned} \inf \displaystyle \frac{1}{2}\int _\Omega \left（\frac{1}{\vareps} W（u）+\vareps）的渐近性|纳卜拉乌|^2 + L_\varepsilon（\mathrm {div}\，u）^2 \right）\，\hbox {d}x \end{aligned}$$在HereandW的各种参数范围内是单位圆上和原点处消失的势。当，我们表明，这些功能收敛到一个常数倍的相边界的周长和发散惩罚是没有感觉到。然而，当，我们发现一个相切的要求沿着竞争对手的相边界的限制成为一个机制，发展的奇异性。我们建立了这个极限的临界条件，并在势的非退化假设下证明了能量有界序列的紧性。通过几个例子研究了这种相切条件对界面奇点形成所起的作用：这些例子中的每一个都涉及到严格的分析推理的数值实验的动机。我们认为，一般来说，Golovaty等人（SIAM J Math Anal 51（1）：276-320，2018）中分析的那种值间状态的“壁”奇异性预计在沿沿着相边界的缺陷附近。
Continuing the program initiated in Golovaty et al. (SIAM J Math Anal 51(1):276–320, 2018), we analyze a model problem based on highly disparate elastic constants that we propose in order to understand corners and cusps that form on the boundary between the nematic and isotropic phases in a liquid crystal. For a bounded planar domainwe investigate theasymptotics of the variational problem $$\begin{aligned} \inf \displaystyle \frac{1}{2}\int _\Omega \left( \frac{1}{\varepsilon } W(u)+\varepsilon |\nabla u|^2 + L_\varepsilon (\mathrm {div}\,u)^2 \right) \,\hbox {d}x \end{aligned}$$within various parameter regimes forHereandWis a potential vanishing on the unit circle and at the origin. When, we show that these functionals-converge to a constant multiple of the perimeter of the phase boundary and the divergence penalty is not felt. However, when, we find that a tangency requirement along the phase boundary for competitors in the conjectured-limit becomes a mechanism for development of singularities. We establish criticality conditions for this limit and under a non-degeneracy assumption on the potential we prove the compactness of energy bounded sequences in. The role played by this tangency condition on the formation of interfacial singularities is investigated through several examples: each of these examples involves analytically rigorous reasoning motivated by numerical experiments. We argue that generically, “wall” singularities between-valued states of the kind analyzed in Golovaty et al. (SIAM J Math Anal 51(1):276–320, 2018) are expected near the defects along the phase boundary.
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