Area Integral Means of Analytic Functions in the Unit Disk
Area Integral Means of Analytic Functions in the Unit Disk
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DOI：
10.4153/cmb-2017-053-3
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发表时间：
2017-08
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
Xiaohui Cui;Chunjie Wang;Kehe Zhu
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Xiaohui Cui;Chunjie Wang;Kehe Zhu
对于单位圆盘$\mathbb{D}$上的解析函数$f$，我们证明了$\Text{c}\，\Text{}\，\Text{}\！|\！\Text{z}\！|\！\\Text{}\，\Text{}\，\Text{r}$关于加权面积度量${\Left(1\，-\，|z{{|}^{2}}\right)^{\pha}}da\Left(z\right)$是$\Left(c，\，1\right)$上的$r$的对数凸函数，其中$-3\，\le\，\α\，\le\，0\，\text{and}\，\text{c}\，\in\，[\，0，\，1)$。此外，$\α$的范围$[-3，\，0]$是最好可能的。当$c\，=\，0$时，我们的论点也简化了我们在前文中得到的几个结果的证明。
Abstract For an analytic function $f$ on the unit disk $\mathbb{D}$ , we show that the ${{L}^{2}}$ integral mean of $f$ on $\text{c}\,\text{}\,\text{ }\!\!|\!\!\text{ z }\!\!|\!\!\text{ }\,\text{}\,\text{r}$ with respect to the weighted area measure ${{\left( 1\,-\,|z{{|}^{2}} \right)}^{\alpha }}dA\left( z \right)$ is a logarithmically convex function of $r$ on $\left( c,\,1 \right)$ , where $-3\,\le \,\alpha \,\le \,0\,\text{and}\,\text{c}\,\in \,[\,0,\,1)$ . Moreover, the range $[-3,\,0]$ for $\alpha $ is best possible. When $c\,=\,0$ , our arguments here also simplify the proof for several results we obtained in earlier papers.