Dirichlet forms on non self-similar sets : Hanoi attractors and the Sierpiński gasket
Dirichlet forms on non self-similar sets : Hanoi attractors and the Sierpiński gasket
复制标题
非自相似集上的狄利克雷形式：河内吸引子和谢尔宾斯基垫片
DOI：
--
复制
发表时间：
2013
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
P. Alonso
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
P. Alonso
这份工作需要一个不那么脆弱的Klasse，它是由参数α产生的河内吸引力。对Hanoi吸引力和Sierpinski-Dreieck吸引力的分析和几何转换，是一个可以进行自我测试的碎片，韦尔登将被发现。
本文第一部分讨论了一个几何支点的问题：由（0，1/3）区间的α构成Hanoi-吸引子，当α为零时，Hausdorff-Metrik中的吸引子将成为Sierpinski-Dreieck的吸引子。我们也可以将Hausdorff维数的α为零的卷积。
本文的第二部分主要是对河内吸引力的结构分析。Zu diesem Zweck construieren wir eine“resistance form”auf dem Attraktor and definieren ein geeignetes Radon-Mas.我们将在L2-Raum上设置一个局部的和规则的Dirichletform。这种形式定义了一个拉普拉斯算子，我们将讨论其特征值。
Laplace算子本征函数的渐近稳定性的研究，Hanoi吸引子的谱维数是已知的。所有的α（0.1/3）都与Sierpinski-Dreiberin的光谱维数有关。
在这篇论文中，我们研究了一类非自相似分形，即所谓的α参数河内吸引子。我们研究了河内吸引子和Sierpinski垫片之间的几何和解析关系，Sierpinski垫片是研究最多的自相似分形之一。
论文的第一部分从几何的角度来处理这个问题：对于（0，1/3）中的每个α，我们构造了河内吸引子，并证明了吸引子序列收敛到Hausdorff度量中的Sierpinski垫片，因为α趋于零。此外，我们证明了收敛的Hausdorff维数α趋于零。
论文的第二部分讨论了河内吸引子分析的构造。为此，我们在吸引子上引入适当的阻力形式，选择适当的Radon测度，得到作用于相关L2-空间的局部正则Dirichlet形式。这种形式定义了一个拉普拉斯算子的河内吸引子，其频谱特性，然后我们调查。
对该拉普拉斯算子的特征值计数函数的渐近行为的研究使我们能够计算出河内吸引子的谱维数，这与Sierpinski垫片的谱维数一致，其中Sierpinski垫片的α为（0，1/3）。
Diese Arbeit behandelt eine Klasse nicht sebstahnlicher Fraktale, die sogenannten Hanoi-Attraktoren zum Parameter alpha. Die analytischen und geometrischen Zusammenhange zwischen den Hanoi-Attraktoren und dem Sierpinski-Dreieck, einem der bekanntesten selbstahnlichen Fraktale, werden untersucht.
Der erste Teil der Arbeit betrachtet das Problem von einem geometrischen Standpunkt: Fur jedes alpha aus dem Intervall (0,1/3) konstruieren wir den Hanoi-Attraktor und beweisen, dass die Folge vom Attraktoren in der Hausdorff-Metrik gegen das Sierpinski-Dreieck konvergiert wenn alpha gegen null geht. Daruberhinaus beweisen wir auch die Konvergenz der Hausdorff Dimension fur alpha gegen null.
Der zweite Teil der Dissertation befasst sich mit der Konstruktion einer Analysis auf Hanoi-Attraktoren. Zu diesem Zweck konstruieren wir eine "resistance form" auf dem Attraktor und definieren ein geeignetes Radon-Mas. Dadurch erhalten wir eine lokale und regulare Dirichletform auf dem zugehorigen L2-Raum. Diese Form definiert einen Laplace-Operator, dessen spektrale Eigenschaften wir untersuchen.
Die Untersuchung des asymptotischen Verhaltens der Eigenwertzahlfunktion des Laplace-Operators dient dazu, die spektrale Dimension von Hanoi-Attraktoren bestimmen zu konnen. Fur alle alpha aus (0, 1/3) stimmt sie mit der spektralen Dimension des Sierpinski-Dreiecks uberein.
In this thesis we study a class of non self-similar fractals, the so-called Hanoi attractors of parameter alpha. We investigate the geometric and analytic relationships between the Hanoi attractors and the Sierpinski gasket, which is one of the most studied self-similar fractals.
The first part of the thesis treats the problem from a geometric point of view: For each alpha in (0, 1/3) we construct the Hanoi attractor and prove that the sequence of attractors converges to the Sierpinski gasket in the Hausdorff metric as alpha tends to zero. Moreover, we prove convergence of the Hausdorff dimension as alpha tends to zero.
The second part of the thesis deals with the construction of an analysis on Hanoi attractors. To this end, we introduce an appropriate resistance form on the attractor, choose a suitable Radon measure and obtain a local and regular Dirichlet form that acts on the associated L2-space. This form defines a Laplacian on the Hanoi attractor, whose spectral properties we then investigate.
The study of the asymptotic behaviour of the eigenvalue counting function of this Laplacian allows us to calculate the spectral dimension of the Hanoi attractor, which turns out to coincide with the one of the Sierpinski gasket for all alpha in (0, 1/3).