A Quasi-linear Birkhoff Normal Forms Method. Application to the Quasi-linear Klein-gordon Equation on S a Quasi-linear Birkhoff Normal Forms Method. Application to the Quasi-linear Klein-gordon Equation on S
A Quasi-linear Birkhoff Normal Forms Method. Application to the Quasi-linear Klein-gordon Equation on S a Quasi-linear Birkhoff Normal Forms Method. Application to the Quasi-linear Klein-gordon Equation on S
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拟线性 Birkhoff 范式方法。
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发表时间：
2009
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通讯作者：
Jean
中科院分区：
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作者：
Jean
- 考虑单位圆上的非线性Klein-Gordon方程，光滑数据的大小为→ 0。一个解u，对于任意κ ∈ N，可以在时间区间] − c κ −κ，c κ −κ [对于某些c κ > 0和0 < < κ]上延拓为光滑解，称为几乎整体解。已知当非线性是一个只依赖于u的多项式，并且在原点处至少2阶为零时，任何光滑的小柯西数据，只要方程中的质量参数保持在R * +的零测度的子集之外，就产生几乎全局解，其高阶的Sobolev范数保持一致有界。本文的目标是将这一结果推广到一般的哈密顿准线性非线性。这些是唯一的哈密顿非线性，不仅取决于u，但也对它的空间导数。为了证明主要定理，我们发展了拟线性方程组的Birkhoff标准形方法。四简历。- 考虑一个Klein-Gordon非线性方程，其圆单位为0。Appelons solution presque globale toute solution u，whi se prolonge pour tout κ ∈ N sur un intervalle de temps ]−c κ −κ，c κ −κ [，pour un certain c κ > 0 et 0 < < κ.在Sobolev空间中，方程的非线性解是一个2阶多项式，方程的非线性参数是R * +的一个零测量集合。这篇文章的结尾是对非线性的准线性的哈密尔顿人的总结。他的行动影响了那些非线性的汉密尔顿人，他们不能依靠你，迈斯也不能依靠太空。我们要用伯克霍夫的正规形式方法来获得主理论，以满足准线性方程。
— Consider a nonlinear Klein-Gordon equation on the unit circle, with smooth data of size → 0. A solution u which, for any κ ∈ N, may be extended as a smooth solution on a time-interval ] − c κ −κ , c κ −κ [ for some c κ > 0 and for 0 < < κ , is called an almost global solution. It is known that when the nonlinearity is a polynomial depending only on u, and vanishing at order at least 2 at the origin, any smooth small Cauchy data generate, as soon as the mass parameter in the equation stays outside a subset of zero measure of R * + , an almost global solution, whose Sobolev norms of higher order stay uniformly bounded. The goal of this paper is to extend this result to general Hamiltonian quasi-linear nonlinearities. These are the only Hamiltonian non linearities that depend not only on u, but also on its space derivative. To prove the main theorem, we develop a Birkhoff normal form method for quasi-linear equations. iv Résumé. — Considérons uné equation de Klein-Gordon non-linéaire sur le cercle unité, ` a donnéesrégulì eres de taille → 0. Appelons solution presque globale toute solution u, qui se prolonge pour tout κ ∈ N sur un intervalle de temps ]−c κ −κ , c κ −κ [, pour un certain c κ > 0 et 0 < < κ. Il est connu que de telles solutions existent, et restent uniformément bornées dans des espaces de Sobolev d'ordré elevé, lorsque la non-linéarité de l'´ equation est un polynôme en u nuì a l'ordre 2 ` a l'origine, et lorsque le paramètre de masse de l'´ equation reste en dehors d'un sous-ensemble de mesure nulle de R * +. Le but de cet article est d'´ etendre ce résultatà des non-linéarités quasi-linéaires Hamiltoniennes générales. Il s'agit en effet des seules non-linéarités Hamiltoniennes qui puissent dépendre non seulement de u, mais aussi de sa dérivée en espace. Nous devons, pour obtenir le théorème principal, développer une méthode de formes normales de Birkhoff pour deséquations quasi-linéaires.