Equations Defining Abelian Varieties
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定义阿贝尔簇的方程
DOI：
10.1007/978-3-642-65315-5_4
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发表时间：
1972
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
J. Igusa
中科院分区：
文献类型：
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作者：
J. Igusa
我们将通过证明“theta 关系”（即 theta 函数之间的关系）来开始本章。更准确地说，我们应该对具有常数系数的 θm(τ, z)、θm(τ, 0) 之间的多项式关系感兴趣。从θ关系的“迷宫”中，我们只选择两个，它们本身并不是无关的：第一个称为“黎曼θ公式”，第二个称为“加法公式”。它们的最短证明取决于以下引理： 引理 1. 设 L 表示离散交换群，L1、L2 表示两个有限索引子群；设 Φ 表示 L 上的 L1 函数，即 L 上的 C 值函数，使得 L 上的 ∣ Φ(xi)∣ 之和收敛。然后我们有 $[L:{L_1}]\cdot \mathop\Sigma\limits_{\xi\epsilon{L_1}}\Phi(\xi) = \mathop\Sigma\limits_{\chi,\zeta} (\mathop\Sigma\limits_{\eta\varepsilon{L_2}} \chi(\eta + \zeta)\Phi((\eta + \zeta)),$ 其中 χ 运行超过 L/L1 的对偶，并超过 L/L2 的完整代表集。
We shall start this chapter by proving “theta relations,” i.e., relations between theta functions. More precisely, we shall be interested in polynomial relations between θm(τ, z), θm(τ, 0) with constant coefficients. From the “labyrinth” of theta relations, we shall select just two, which are themselves not unrelated: The first one is called “Riemann’s theta formula” and the second one the “addition formula.” Their shortest proofs depend on the following lemma: Lemma 1. Let L denote a discrete commutative group and L1, L2 two subgroups of finite indices; let Φ denote an L1-function on L, i.e., a C-valued function on L such that the sum of ∣ Φ(ξ)∣ over L is convergent. Then we have $[L:{L_1}]\cdot \mathop\Sigma\limits_{\xi\epsilon{L_1}}\Phi(\xi) = \mathop\Sigma\limits_{\chi,\zeta} (\mathop\Sigma\limits_{\eta\varepsilon{L_2}} \chi(\eta + \zeta)\Phi((\eta + \zeta)),$ in which χ runs over the dual of L/L1 and ζ over a complete set of representatives of L/L2.