On the upper semi-continuity of HSL numbers
On the upper semi-continuity of HSL numbers
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关于HSL数的上半连续性
DOI：
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发表时间：
2013
期刊：
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通讯作者：
Serena Murru
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Serena Murru
令 $B$ 为特征 $p$ 域上的仿射 Cohen-Macaulay 代数。对于每个素理想 $mathfrak{p} 子集 B$，令 $ext{H}_mathfrak{p}$ 表示 $H^{dim B_mathfrak{p}}_{mathfrak{p} B_mathfrak{p}}left( Widehat{B_mathfrak{p}}
右）$。每个这样的 $ ext{H}_mathfrak{p}$ 都是一个具有自然 Frobenius 映射 $Theta$ 的 Artinian 模块，如果 $ ext{Nil}( ext{H}_mathfrak{p})$ 表示 $ ext{H}_mathfrak{p}$ 中所有元素被 $Theta$ 的某种幂杀死的集合，则 Hartshorne-Speiser 和 Lyubeznik 的定理表明存在 $egeq 0$ 使得 $Theta^e ext{Nil}( ext{H}_mathfrak{p})=0$。最小的 $e$ 是 $ ext{H}_mathfrak{p}$ 的 HSL 编号，我们表示为 $ ext{HSL}( ext{H}_mathfrak{p})$。本文的主要定理表明，对于所有 $e>0$，集合 ${ mathfrak{p}in ext{Spec} (B) ,|, ext{HSL}( ext{H}_mathfrak{p}) < e }$ 是 Zariski 开集，因此 HSL 是上半连续的。该结果的应用给出了用于计算 Cohen-Macaulay 环中参数理想的 Frobenius 闭包的全局测试指数。
Let $B$ be an affine Cohen-Macaulay algebra over a field of characteristic $p$. For every prime ideal $mathfrak{p}subset B$, let $ ext{H}_mathfrak{p}$ denote $H^{dim B_mathfrak{p}}_{mathfrak{p} B_mathfrak{p}}left( widehat{B_mathfrak{p}}
ight)$. Each such $ ext{H}_mathfrak{p}$ is an Artinian module endowed with a natural Frobenius map $Theta$ and if $ ext{Nil}( ext{H}_mathfrak{p})$ denotes the set of all elements in $ ext{H}_mathfrak{p}$ killed by some power of $Theta$ then a theorem by Hartshorne-Speiser and Lyubeznik shows that there exists an $egeq 0$ such that $Theta^e ext{Nil}( ext{H}_mathfrak{p})=0$. The smallest such $e$ is the HSL-number of $ ext{H}_mathfrak{p}$ which we denote $ ext{HSL}( ext{H}_mathfrak{p})$. The main theorem in this paper shows that for all $e>0$, the sets ${ mathfrak{p}in ext{Spec} (B) ,|, ext{HSL}( ext{H}_mathfrak{p}) < e }$ are Zariski open, hence HSL is upper semi-continuous. An application of this result gives a global test exponent for the calculation of Frobenius closures of parameter ideals in Cohen-Macaulay rings.