Stability of Regularized Hastings–Levitov Aggregation in the Subcritical Regime
Stability of Regularized Hastings–Levitov Aggregation in the Subcritical Regime
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亚临界状态下正则化 Hastings-Levitov 聚集的稳定性
DOI：
10.1007/s00220-024-04960-5
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发表时间：
2021
影响因子：
2.4
通讯作者：
Amanda G. Turner
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
J. Norris;Vittoria Silvestri;Amanda G. Turner
<jats:p>我们证明了双参数类 ALE 的批量缩放限制和波动缩放限制<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$({\alpha },\eta )$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:月>(</mml:月>
<mml:mi>α</mml:mi>
<mml：月>，</mml：月>
<mml:mi>η</mml:mi>
<mml：月>）</mml：月>
</mml:mrow>
连续平面聚合模型的</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>。该类包括 Hastings–Levitov 系列 HL<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$({\alpha })$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 的正则化版本
<mml:mrow>
<mml:月>(</mml:月>
<mml:mi>α</mml:mi>
<mml：月>）</mml：月>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> 和介电击穿模型系列的连续体版本，其中新粒子的局部附着强度指定为负幂 <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$-\eta $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:月>-</mml:月>
<mml:mi>η</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> 相对于谐波测量的弧长密度。极限动态遵循某个 Loewner–Kufarev 方程的解，其中驱动测量取决于解和参数 <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$${\zeta }={\alpha }+\eta $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
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<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>α</mml:mi>
<mml:月>+</mml:月>
<mml:mi>η</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml：数学> </ jats：替代> </ jats：内联公式>。我们的结果受到亚临界条件 <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$${\zeta }\leqslant 1$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo>⩽</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>：这包括 HL<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$({\alpha })$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:月>(</mml:月>
<mml:mi>α</mml:mi>
<mml：月>）</mml：月>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> 为 <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$${\alpha }\leqslant 1$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>α</mml:mi>
<mml:mo>⩽</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> 以及情况 <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$${\alpha }=2,\eta =-1$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
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<mml:mi>α</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml：月>，</mml：月>
<mml:mi>η</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:月>-</mml:月>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> 对应于连续 Eden 模型。 Hastings 和 Levitov 预测 HL<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$({\alpha })$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 的行为发生变化
<mml:mrow>
<mml:月>(</mml:月>
<mml:mi>α</mml:mi>
<mml：月>）</mml：月>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> 位于 <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$${\alpha }=1$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>α</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>，与我们的结果一致。在考虑的正则化机制中，缩放极限周围的波动显示为高斯分布，独立的 Ornstein-Uhlenbeck 过程驱动每个傅里叶模式，当且仅当 <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$${\zeta }\leqslant 1$$</jats:tex-math><mml:math 时才被认为是稳定的xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo>⩽</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml：数学> </ jats：替代> </ jats：内联公式>。</ jats：p>
<jats:p>We prove bulk scaling limits and fluctuation scaling limits for a two-parameter class ALE<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$({\alpha },\eta )$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>α</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>η</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> of continuum planar aggregation models. The class includes regularized versions of the Hastings–Levitov family HL<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$({\alpha })$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>α</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and continuum versions of the family of dielectric-breakdown models, where the local attachment intensity for new particles is specified as a negative power <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$-\eta $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>η</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> of the density of arc length with respect to harmonic measure. The limit dynamics follow solutions of a certain Loewner–Kufarev equation, where the driving measure is made to depend on the solution and on the parameter <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$${\zeta }={\alpha }+\eta $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>ζ</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>α</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>η</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. Our results are subject to a subcriticality condition <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$${\zeta }\leqslant 1$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>ζ</mml:mi>
<mml:mo>⩽</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
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</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>: this includes HL<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$({\alpha })$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>α</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> for <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$${\alpha }\leqslant 1$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>α</mml:mi>
<mml:mo>⩽</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
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</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and also the case <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$${\alpha }=2,\eta =-1$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
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<mml:mi>α</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>η</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> corresponding to a continuum Eden model. Hastings and Levitov predicted a change in behaviour for HL<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$({\alpha })$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
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<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>α</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
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</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> at <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$${\alpha }=1$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
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<mml:mi>α</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, consistent with our results. In the regularized regime considered, the fluctuations around the scaling limit are shown to be Gaussian, with independent Ornstein–Uhlenbeck processes driving each Fourier mode, which are seen to be stable if and only if <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$${\zeta }\leqslant 1$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
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<mml:mi>ζ</mml:mi>
<mml:mo>⩽</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
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</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>.</jats:p>